Resposta:
Olá bom dia|!
1)
[tex]3^{-k} = \frac{1}{3^k}[/tex]
Escrevendo os primeiros termos:
k = 1 ; 1 / 3¹ = 1/3
k = 2 ; 1 / 3² = 1/9
k = 3 ; 1 / 3³ = 1/27
A série é decrescente e a razão é:
q = 1/3
a1 = 1/3
Portanto, como |q| < 1 , a série converge.
A soma de uma série infinita é:
[tex]S_{oo} = \frac{a_1}{1-q}[/tex]
Logo:
[tex]S_{oo} = \frac{(1/3)}{1-(1/3)}[/tex]
[tex]S_{oo} = \frac{1/3}{2/3}[/tex]
[tex]S_{oo} = {1/3}*{3/2}\\[/tex]
Sk = 1/2
2)
[tex]S_k= \frac{a_1(q^k-1)}{q-1}[/tex]
[tex]a_1 = (1/2) ^1 = 1/2[/tex]
[tex]a_2 = (1/2) ^2 = 1/4[/tex]
q = 1/2
a1 = 1/2
Logo:
[tex]S_k = (1/2)\frac{{(1/2)^k}-1}{(1/2)-1}[/tex]
[tex]S_k = (1/2)\frac{{(1/2^k)}-1}{-1/2}[/tex]
[tex]S_k = -\frac{1}{2^k} + 1[/tex]
[tex]S_k = \frac{2^k-1}{2^k}[/tex]
