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1) Seja a série:
∞
∑ [tex]3^{-k}[/tex]
k=1

Avalie a convergência e, caso afirmativo, o limite da soma.


2) Determine uma fórmula para as somas parciais de
∞
∑ [tex]\frac{1}{2^k}[/tex]
k=1

Sagot :

marciocbe

Resposta:

Olá bom dia|!

1)

[tex]3^{-k} = \frac{1}{3^k}[/tex]

Escrevendo os primeiros termos:

k = 1 ; 1 / 3¹ = 1/3

k = 2 ; 1 / 3² = 1/9

k = 3 ; 1 / 3³ = 1/27

A série é decrescente e a razão é:

q = 1/3

a1 = 1/3

Portanto, como |q| < 1 , a série converge.

A soma de uma série infinita  é:

[tex]S_{oo} = \frac{a_1}{1-q}[/tex]

Logo:

[tex]S_{oo} = \frac{(1/3)}{1-(1/3)}[/tex]

[tex]S_{oo} = \frac{1/3}{2/3}[/tex]

[tex]S_{oo} = {1/3}*{3/2}\\[/tex]

Sk = 1/2

2)

[tex]S_k= \frac{a_1(q^k-1)}{q-1}[/tex]

[tex]a_1 = (1/2) ^1 = 1/2[/tex]

[tex]a_2 = (1/2) ^2 = 1/4[/tex]

q = 1/2

a1 = 1/2

Logo:

[tex]S_k = (1/2)\frac{{(1/2)^k}-1}{(1/2)-1}[/tex]

[tex]S_k = (1/2)\frac{{(1/2^k)}-1}{-1/2}[/tex]

[tex]S_k = -\frac{1}{2^k} + 1[/tex]

[tex]S_k = \frac{2^k-1}{2^k}[/tex]

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