Explicação passo a passo:
Para o caso trivial em que [tex]a=0[/tex], nada há a se provar, pois [tex]a[/tex] e todas as suas potências de expoente inteiro e positivo são racionais.
Caso [tex]a\ne 0:[/tex]
Vamos escrever a equação a seguir:
[tex](a^7)^x\cdot (a^{12})^y=a\qquad\mathrm{(i)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a^{7x}\cdot a^{12y}=a^1\\\\ \Longleftrightarrow\qquad a^{7x+12y}=a^1[/tex]
A exponencial em [tex]a[/tex] é injetiva, logo devemos ter necessariamente
[tex]\Longrightarrow\quad 7x+12y=1\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Se a equação (ii) tiver soluções inteiras para as variáveis [tex]x[/tex] e [tex]y,[/tex] então podemos concluir que [tex]a[/tex] é racional, pois é o produto de potências de racionais com expoentes inteiros.
A equação (ii) é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e possui soluções inteiras pois
mdc(7, 12) = 1 e 1 | 1.
Logo, [tex]a[/tex] é racional, como queríamos demonstrar.
Obs.: A título de curiosidade, podemos resolver a equação e explicitar suas soluções. Aplicando o algoritmo de Euclides, podemos escrever
[tex]\begin{array}{lcl}12=7\cdot 1+5&\quad\Longrightarrow\quad&5=12\cdot 1-7\cdot 1\\\\7=5\cdot 1+2&\quad\Longrightarrow\quad &2=7\cdot 1-5\cdot 1\\ &&2=7\cdot 1-(12\cdot 1-7\cdot 1)\\ &&2=7\cdot 1-12\cdot 1+7\cdot 1\\ &&2=-12\cdot 1+7\cdot 2\\\\5=2\cdot 2+1&\quad\Longrightarrow\quad&1=5\cdot 1-2\cdot 2\\&&1=(12\cdot 1-7\cdot 1)\cdot 1-(-12\cdot 1+7\cdot 2)\cdot 2\\ &&1=12\cdot 1-7\cdot 1+12\cdot 2-7\cdot 4\\ &&1=12\cdot 3+7\cdot (-5) \end{array}[/tex]
Portanto, encontramos
[tex]7\cdot (-5)+12\cdot 3=1[/tex]
Logo, o par [tex](x,\,y)=(-5,\,3)[/tex] é uma solução para a equação (ii), (embora não seja a única). A solução geral é dada por
[tex](x,\,y)=(-5+12k,\,3-7k),\qquad\mathrm{com~}k\in\mathbb{Z}.[/tex]
Disso, podemos escrever explicitamente:
[tex](a^7)^{-5+12k}\cdot (a^{12})^{3-7k}=a\qquad\checkmark[/tex]
para todo [tex]k\in\mathbb{Z}.[/tex]
Dúvidas? Comente.
Bons estudos!
