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Sagot :
A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor aproximado desta integral é [tex]\sf\boxed{\boxed{\bf 2{,}164~u.a}}[/tex].
E para chegar a essa conclusão tivemos que usar a regra do 1/3 de Simpson.
- Regra do 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson nos permite calcular o valor aproximado de integrais definidas de uma função f(x) em um intervalo [a,b], onde o integrando da função f(x) será aproximado sobre um polinômio de segunda ordem, que será bem fácil de resolver. Se uma função é altamente oscilatória ou não possui derivadas em certos pontos, a regra acima pode não produzir resultados precisos.
A aproximação de uma integral pela regra 1/3 de Simpson tem a expressão:
[tex]\displaystyle \bf \int^ b _ a f(x) dx \approx \dfrac{h}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}}f ( x _ 0) + 4 f( x _ 1) + 2 f(x _ 2) + ... + 4 f( x _{n - 1} )+f (x _ n)\right\}[/tex]
- Onde o valor da variável h é calculado pela equação: [tex] \bf h =\dfrac{b - a }{2} [/tex]
Observe que n é o número par de subdivisões em que a função é definida.
Assim, levando em consideração a regra de 1/3 de simpson e como ela será aplicada, podemos prosseguir para resolver nosso problema.
[tex]\rule{12cm}{0.01mm}[/tex]
- Resolução:
A integral que queremos resolver por este método é: [tex]\displaystyle \bf \int ^3 _{2} \sqrt[3]{x ^3-5 } dx[/tex]
Vamos levar em conta que os intervalos onde nossa função se encontra é [3,2] e está definida em 2 subdivisões. Como o número de subdivisões é 2, o valor aproximado da integral será a operação:
[tex]\displaystyle \int^ b _ a f(x) dx \approx \dfrac{h}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}} f ( x _ 0) + 4 f( x _ 1) +f (x _ 2)\right\}[/tex]
Para começar nossos cálculos podemos encontrar o valor da variável h, substituindo o valor de cada intervalo e o valor das subdivisões podemos dizer que h é igual a:
[tex] h =\dfrac{3 - 2}{2} ~\Longrightarrow ~ h =\dfrac{1}{2} \\\\ \quad \quad h =0{,}5[/tex]
Como já encontramos o valor de "h" podemos encontrar os valores dos pontos dessa função, os pontos são definidos pela variável [tex]x _ n[/tex]. Principalmente o valor do ponto zero é o intervalo “a” da integral e o ponto 2 é igual ao valor de “a” mais a variável “h”, e o último ponto sempre será o intervalo “b”.
Vemos que o primeiro ponto é 2 e o último 3, vemos o que está faltando no antepenúltimo ponto, para isso vamos somar o valor de "h" que obtemos a 2.
[tex]\begin{cases}x _ 0 = 2\\ x _ 1= 2+0{,}5 = 2{,}5\\ x _ 2= 3\end{cases}[/tex]
Agora vamos substituir o valor de cada ponto em nossa função que queremos integral.
[tex]\begin{cases}I) f(x _ 0 )= \sqrt[3]{2^3 - 5}\\ \\ II) f(x _ 1) = \sqrt[3]{2{,}5^3-5} \\\\ III) f(x _ 2)= \sqrt[3]{3^3- 5}\end{cases}~ \begin{cases}IV) f(x _ 0 )\approx 1{,}442\\ \\ V) f(x _ 1) \approx 2{,}198 \\ \\ VI) f(x _ 2)\approx 2{,}802\end{cases} [/tex]
Como já encontramos todos os nossos dados, podemos substituir esses dados em nossa fórmula:
[tex]I )~\approx~ \dfrac{0{,}5}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}}1{,}442 + 4 (2{,}198)+2{,}802\right\}~\Longrightarrow~ \\\\\\ II) ~\approx 0{,}166 \left\{\vphantom{\dfrac{}{}} 1{,}442+8{,}792+2{,}802\right\}\\\\\\ ~III)~ \approx~ 0{,}166 \cdot 13{,}036 \Longrightarrow \\\\\\ IV)~\approx~ 2{,}1639 \\\\\\ {\boxed{\bf~\int ^3 _{2} \sqrt[3]{x ^3-5 } dx \cong 2{,}164~ u.a}}[/tex]
Assim, tendo feito os cálculos, acabamos de concluir que o valor aproximado desta integral é 2,164 u.a (unidades de área)
Se você quiser ver mais sobre o tópico de integrais pela regra de 1/3 de Simpson, veja os links a seguir:
https://brainly.com.br/tarefa/16394182
https://brainly.com.br/tarefa/16339965
Bons estudos e espero que te ajude :D
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