A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da integral dupla encontrada em coordenadas polares é igual a 8,4 π - 21, ou seja, a alternativa B) está correta. E para chegar a essa conclusão tivemos que usar o teorema de Fubini.
O teorema de Fubini nos permite resolver integrais de várias variáveis de maneira mais simples. Teorema de Fubini que estabelece as condições para poder reduzir a avaliação de uma integral dupla a uma integral iterada e mais fácil de resolver.
Levando em conta o teorema de Fubini podemos encontrar a solução do nosso problema.
O problema diz que dada a integral dupla que está em coordenadas polares, escolhemos a solução que assimila o valor da integral.
- A integral dupla em coordenadas polares é:
[tex]\displaystyle \sf I= \int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \int ^5 _ 2 r dr d\theta [/tex]
Vamos separar essas integrais, para poder separar as integrais vamos colocar a primeira integral entre parênteses, fazendo isso obtemos:
[tex]\displaystyle \sf I= \int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \left(\int ^5 _ 2 r dr\right) d\theta [/tex]
Para resolver a primeira integral podemos aplicar a regra da potência, a regra da potência é definida pela expressão: [tex]\displaystyle \sf \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1} }{n +1}[/tex]
Aplicando esta regra com nossa primeira integral, podemos simplesmente obter a expressão:
[tex]\displaystyle \sf I= \int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \left[\dfrac{r^{1+1}}{1+1}\right]^5 _2d\theta \\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \left[\dfrac{r^{2}}{2}\right]^5 _2d\theta[/tex]
Como é uma integral definida, o que vamos fazer é avaliar os valores da variável que acaba de ser integral em seus limites de integração, fazendo isso obtemos:
[tex] \displaystyle \sf I=\int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \left[\dfrac{5^{2}}{2}\right]-\left[\dfrac{2^2}{2}\right] d\theta\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \left[\dfrac{25}{2}\right]-\left[\dfrac{4}{2}\right] d\theta\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int^{\frac{4\pi}{5}} _2 \dfrac{21}{2}d\theta[/tex]
Como já encontramos o valor da primeira integral, podemos prosseguir para resolver a segunda integral, esta integral será mais simples que a outra.
Vemos que nesta integral temos apenas o resultado que obtivemos anteriormente e a diferencial da variável θ, já que o resultado da nossa integral anterior não possui a variável θ podemos levar esse valor em consideração como uma constante e ela removê-lo esta integral. Realizando este processo obtemos
[tex] \displaystyle \sf I= \dfrac{21}{2} \int^{\frac{4\pi}{5}} _2 d\theta[/tex]
Agora vamos lembrar que a integral de uma diferencial é igual à variável dessa diferencial, então o valor da integral é alterado para:
[tex] \displaystyle \sf I=\dfrac{21}{2} \left[ \theta \vphantom{ \frac{}{} }\right]^{\frac{4\pi}{5} }_2 [/tex]
- Avaliando o valor da integral dessa variável em seus limites de integração:
[tex] \displaystyle \sf I= \dfrac{21}{2}\left( \left[\dfrac{4\pi}{5}\right] -\left[2\right]\right) \\\\\\\\ \displaystyle \sf I= \dfrac{21}{\not\!\!2} \left(\dfrac{4\pi}{5}-\not\!\!2\right) \\\\\\\\ \displaystyle \sf I= \dfrac{84\pi}{10}-21 \\\\\\\\ \displaystyle\boxed{\boxed{ \sf I= 8{,}4\pi-21}}\Longrightarrow \sf~Resposta \checkmark [/tex]
Feitos os cálculos, acabamos de concluir que a alternativa B) é a resposta da integral dupla.
Veja mais sobre o assunto de integrais duplas nos links a seguir:
[tex]\star [/tex] https://brainly.com.br/tarefa/24092687
[tex]\star [/tex] https://brainly.com.br/tarefa/36142522
[tex]\star [/tex] https://brainly.com.br/tarefa/51706579
Bons estudos e espero que te ajude :-)
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