A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor desta integral tripla é igual a 6720, ou seja, a alternativa D) está correta. E para chegar a esta conclusão tivemos que aplicar o teorema de Fubini.
O teorema de Fubini nos permite resolver integrais de várias variáveis de uma forma mais simples. Se tivermos uma integral dupla ou tripla com duas ou três variáveis, o teorema de Fubini nos permitirá separar cada integral e resolvê-las uma a uma.
Digamos que temos a seguinte integral dupla como exemplo:
[tex]\displaystyle \sf \int ^ B _ A \int ^C _ D dx dy[/tex]
Se aplicarmos o teorema de Fubini para resolver esta integral de uma forma diferente e simples, podemos obter a expressão:
[tex]\displaystyle \sf \int ^ B _ A \left[\int ^C _ D dx\right] dy[/tex]
Agora, como aplicamos este teorema, podemos realizar a primeira integral dentro dos parênteses e, uma vez resolvida essa integral, podemos resolver a próxima integral.
Levando em conta este teorema podemos encontrar a solução do nosso problema.
O problema diz que dada a seguinte integral tripla:
[tex]\displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 } \int ^{30} _ {-5 } \int ^8 _{ -8 }d z d x d y[/tex]
Para encontrar o valor desta integral vamos aplicar o teorema de Fubini, se aplicarmos este método a integral se torna:
[tex]\displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }\left[ \int ^8 _{ -8 }d z\right] d x \right)d y[/tex]
Antes de resolver essas integrais vamos ver qual variável estamos integrando, a primeira integral é em relação ao diferencial de z, pois estamos integrando apenas o diferencial, lembre-se da regra para o integral de uma constante, isto é:
[tex] \displaystyle \sf \int a dx =a x [/tex]
Como não temos esse número "a" o que podemos fazer é somar algum número que ao multiplicar o diferencial só resta este. Neste caso será o número 1, então a integral retorna para:
[tex]\displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }\left[ \int ^8 _{ -8 }1 d z\right] d x \right)d y\\\\\\\\ I= \displaystyle \sf \int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }\left[ z\right] ^8 _{-8} d x \right)d y[/tex]
Como é uma integral definida, o que vamos fazer é calcular o valor de z em seus limites de integração, fazendo isso obtemos:
[tex]\displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }\left[8 \right] -\left[-8\right]d x \right)d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }8 +8 d x \right)d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }16 d x \right)d y [/tex]
Uma vez que uma dessas integrais tenha sido resolvida, podemos resolver a próxima, resolvemos a segunda integral aplicando a mesma regra.
[tex] \displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 }\left( \int ^{30} _ {-5 }16 d x \right)d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left( 16 x\right)^{30} _{-5}d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left[16 \cdot 30\right]-\left[16\cdot (-5)\right]d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }\left[480\right]-\left[-80\right]d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I=\int ^{10} _ {-2 }480+80 d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 }560 d y [/tex]
Novamente aplicando a mesma regra para resolver esta última integral e assim chegar ao resultado final.
[tex] \displaystyle \sf I= \int ^{10} _ {-2 }560 d y\\\\\\\\ \displaystyle \sf \left|560 y\right|^{10} _{-2} \\\\\\\\ \displaystyle \sf I = \left[560\cdot 10\right]-\left[560\cdot(-2)\right]\\\\\\\\ \displaystyle \sf I= \left[5{.}600\right]-\left[-1{.}120\right] \\\\\\\\ \displaystyle \sf I= 5{.}600+1{.}120\\\\\\\\\sf \boxed{\boxed{\displaystyle \sf I=6{.}720}}\Longrightarrow ~ Resposta \checkmark [/tex]
Feitos os cálculos, acabamos de concluir que o valor da integral tripla é 6.720.
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Bons estudos e espero que te ajude :-)
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