rodriguesangela781
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1) Ache uma equação da reta tangente à curva y = x²-3x no ponto P(2,-2).​

Sagot :

solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau no referido ponto dado é:

      [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = x - 4\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

Sejam os dados:

            [tex]\Large\begin{cases} y = x^{2} - 3x\\P(2, -2)\end{cases}[/tex]

Sabendo que:

                 [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$}[/tex]

Então, temos:

             [tex]\Large\begin{cases} f(x) = x^{2} - 3x\\P(2, -2)\end{cases}[/tex]

Para calcular a reta tangente que toca o gráfico da referida função pelo ponto "P" devemos utilizar a forma "ponto/declividade" da reta que é:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex]         [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}[/tex]

Sendo:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex]                  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{P} = f(x_{P})\end{gathered}$}[/tex]

Além disso sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à derivada primeira da função no referido ponto, ou seja:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}[/tex]                  [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{P})\end{gathered}$}[/tex]

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}[/tex]     [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{P}) = f'(x_{P})\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}[/tex]

Substituindo os valores na equação "IV", temos:

   [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (-2) = \left[2\cdot1\cdot2^{2 - 1} - 1\cdot3\cdot2^{1 - 1}\right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]

            [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 2 = \left[4 - 3 \right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]

            [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 2 = 1\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]

            [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 2 = x - 2\end{gathered}$}[/tex]

                    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = x - 2 - 2\end{gathered}$}[/tex]

                    [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = x - 4\end{gathered}$}[/tex]

✅ Portanto, a reta tangente é:

               [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} t: y = x - 4\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]

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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]

View image solkarped
RubensPateis

Obs: Levarei em consideração que tenha noção sobre diferenciação de funções.

seja f(x) = y = x² - 3x um polinômio de grau 2, e

Lembrando que a derivada de um polinômio é a somatória das derivadas de cada termo, de modo que:

d(x^n)/dx = n.x^(n-1)

Temos que a derivada de f(x) será:

f'(x) = 2x - 3

No caso queremos a reta tangente no ponto (x, y) = (2, -2).

a inclinação da reta tangente de f(x) nesse ponto será dado por f'(2).

f'(2) = 2.2 - 3 = 1

Com a tangente da reta naquele ponto e o próprio ponto, podemos usar a lei de formação da reta para determinar:

(y - y0) = m(x -x0)

m = 1

(x0, y0) = (2, -2)

y + 2 = x - 2

y = x - 4

g(x) = y = x - 4 é a equação da reta tangente de f(x) no ponto (2, -2).

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