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Sagot :
O total de alunos sendo meninos e meninas é de 7
Combinação
É o estudo de um agrupamento que analisa a quantidade de formas possíveis que podemos combinar o conjunto com diversas condições pré definidas
Como resolvemos?
Primeiro: Entendendo o texto
- Duas formas de formar grupos:
- 2 meninos + 1 menina
- 2 meninas + 1 menino
- Total de 25 formas diferentes
Segundo: Escrevendo as combinações
- Como não sabemos o seu número, chamaremos:
- Meninos de "a"
- Meninas de "b"
- Assim para a primeira possibilidade: 2 meninos + 1 menina
a (a - 1) b
- Note que, para o primeira posição, temos "a" alunos
- Porém na segunda posição temos "a" menos o menino da primeira posição, assim: (a-1)
- E na terceira posição temos "b"
Assim para a segunda possibilidade: 2 meninas + 1 menino
b (b - 1) a
- Seguindo a mesma lógica da anterior
- Primeira posição das meninas é dado por "b"
- Segunda posição é dada por "b" menos a menina da primeira posição, logo (b-1)
- E na última posição o menino "a"
Terceiro: Relacionando as possibilidade
- Note que, temos a palavra "ou" entre as possibilidades
- Isso significa que teremos que somar as duas possibilidades
- Teremos:
a (a - 1) b + b (b - 1) a = 25 combinações
Quarto: aplicando a fórmula de combinação
- A fórmula de combinação é dada por:
- [tex]C_{n,p} = \frac{n!}{p! .(n-p)!}[/tex]
- Onde: "n" será os meninos e meninas; e "p" será as suas repetições
Aplicando para as possibilidade:
- 2 meninos teremos:
[tex]C_{a,2} = \frac{a!}{2! .(a-2)!} = \frac{a.(a-1).(a-2)!}{2! .(a-2)!} = \frac{a.(a-1)}{2! }[/tex]
- 2 meninas teremos
[tex]C_{b,2} = \frac{b!}{2! .(b-2)!} = \frac{b.(b-1).(b-2)!}{2! .(b-2)!} = \frac{b.(b-1)}{2! }[/tex]
- Assim, teremos [tex]\frac{a.(a-1)}{2! };\frac{b.(b-1)}{2! }[/tex] possibilidades para os dois meninos e meninas para as duas primeiras posições
Quinto: Adicionando a terceira posição
- 2 meninos + 1 menina: [tex]\frac{a.(a-1)}{2! }. (b)[/tex]
- 2 meninas + 1 menino:[tex]\frac{b.(b-1)}{2! }.(a)[/tex]
- Somando as duas teremos:
[tex]\frac{a.(a-1)}{2! }.(b) + \frac{b.(b-1)}{2! }.(a)= 25\\\\\frac{a^{2} -a}{2 }.(b) +\frac{bx^{2}-b}{2 }.(a)= 25\\\\\frac{b(a^{2} -a)}{2 }+\frac{a(bx^{2}-b)}{2 }= 25\\\\\frac{b(a^{2} -a)}{2 }+\frac{a(bx^{2}-b)}{2 } = 25 \\\\ba^{2} - ab + ab^{2} - ab = (25) . 2\\ba^{2} - 2ab + ab^{2} = 50[/tex]
- Deixando em evidência o "b" teremos:
[tex]ba^{2} - 2ab + ab^{2} = 50\\b (a^{2} - 2a + ab})=50 \\ (a^{2} - 2a + ab})=\frac{50}{b}[/tex]
- Assim, teremos que ter um número de "b" sendo múltiplo de 50
Sexto: Testando o valor 2
- Note que, o valor 2 é múltiplo de 50
[tex](a^{2} - 2a + a2})=\frac{50}{2}\\(a^{2} })=25\\\\a=\sqrt{25} =5[/tex]
Logo usando o b=2, temos a =5
Sétimo: Testando as combinações
- Iremos usar novamente a fórmula de combinação para as duas possibilidades
- Das combinações teremos:
[tex]\frac{5.(5-1)}{2! }.(2) = \frac{5.4}{2 }.(2)= \frac{20}{2}=10.(2)= 20[/tex]
[tex]\frac{2.(2-1)}{2! }.(5) = \frac{2.(1)}{2}.(5) = \frac{2}{2 }.(5) =1.(5) = 5[/tex]
- Assim, ficaremos com:
- 20 possibilidades para 2 meninos e 1 menina
- 5 possibilidades para 2 meninas e 1 menino
- No total temos as 25 possibilidades conforme o enunciado
Assim, o total de alunos é de 5 + 2 = 7 alunos
Veja essa e outras questões envolvendo combinação em: https://brainly.com.br/tarefa/45444991
#SPJ2
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