Explicação passo a passo:
Suponha que exista [tex]x[/tex] inteiro que satisfaz a hipótese dada:
[tex]\begin{array}{l} x^2\equiv 35\quad(\mathrm{mod~100})\qquad\mathrm{(i)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-35=100k_1,\quad\mathrm{para~algum~}k_1\in\mathbb{Z}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=100k_1+35\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=5\cdot (20k_1+7)\\\\ \Longrightarrow\quad 5\,|\,x^2\end{array}[/tex]
e como 5 é primo, concluímos que
[tex]\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad 5\,|\,x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=5k_2,\quad\mathrm{para~algum~}k_2\in\mathbb{Z}\\\\ \Longrightarrow\quad x^2=(5k_2)^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=25k_2^2\\\\ \Longrightarrow\quad 25\,|\,x^2\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}[/tex]
Então [tex]x^2[/tex] deve ser um múltiplo de 25, e consequentemente só temos as seguintes possibilidades:
[tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ll} x^2\equiv 0\quad(\mathrm{mod~100}),&\quad\mathrm{se~}k_2~\mathrm{for~par}\\\\ x^2\equiv 25\quad(\mathrm{mod~100}),&\quad\mathrm{se~}k_2~\mathrm{for~\acute{i}mpar}\end{array}\right.[/tex]
Isto significa que os dois últimos dígitos de [tex]x^2[/tex] são 00 ou 25, o que contradiz a hipótese (i).
Isso fica evidente ao tomarmos o resíduo de [tex]x^2[/tex] módulo 25:
[tex]\begin{array}{l}x^2=100k_1+35\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=100k_1+25+10\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=25\cdot (4k_1+1)+10\\\\ \Longrightarrow\quad x^2\equiv 10\quad(\mathrm{mod~}25)\end{array}[/tex]
contrariando (ii), o fato de que [tex]x^2[/tex] deve ser múltiplo de 25.
Logo, não existe inteiro x tal que x² ≡ 35 (mod 100).
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