De acordo com os dados do enunciado e realizados os cálculos concluímos que a integral indefinida é:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x + \ln|x| + C } $ }[/tex]
Uma função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf F }[/tex] é uma antiderivada de uma função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f }[/tex] em um dado intervalo aberto se [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf F'(x) = f(x) }[/tex] em cada x do intervalo. É chamada de integrais indefinidas.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int f(x) \: dx = F(x) ~~significa~~ F'(x) = f(x) } $ } }[/tex]
Exemplo:
A função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf F (x) = \dfrac{x^3}{3} }[/tex] é uma antiderivada de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = x^2 }[/tex] no intervalo [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf (-\: \infty, +\:\infty) }[/tex] porque, em cada [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] desse intervalo, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F'(x) = \dfrac{d}{dx} \: \left[ \dfrac{x^3}{y3} +C\right] = x^2 = f(x) } $ }[/tex]
A integral de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex] em relação a [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] é igual a [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf F(x) }[/tex] mais uma constante.
Algumas propriedades para resolver esta solução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \int \:dx = x +C } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \int x^n \:dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C \quad ( n \neq -\; 1) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \int \dfrac{1}{x} \:dx = \ln| x| +C } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \int \left[ f(x) +g(x) \right] \:dx = F(x) + G(x) +C } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx } $ }[/tex]
Para resolução, devemos aplicar algumas propriedade.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = \int \left( \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x} \right) \: dx = \int \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \: dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = \int1\: dx + \int \dfrac{1}{x}\: dx } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x +C' + \ln|x| +C'' } $ }[/tex]
Observação:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{C = C'+C'' } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int \dfrac{x + 1}{x} \: dx = x + \ln|x| +C }[/tex]
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