Resposta:
Olá bom dia!
A equação reduzida da hipérbole, com definição do eixo real em y é:
[tex]\frac{(y-y_o)^2}{a^2} - \frac{(x-x_o)^2}{b^2}=1[/tex]
É possível notar isso ao observar que o coeficiente de y² na equação geral dada é positivo (+1).
Dada a equação geral apresentada na tarefa:
y² - x² + 2y - 2x - 1 = 0
Agrupando os termos com y e x e isolando o 1:
y²+ 2y - x² - 2x = 1
Temos então que:
(y² + 2y + 1) - (x + 2x + 1) = 1
(y + 1)² - (x + 1)² = 1
O centro é o ponto Xo e Yo. Observe o sinal positivo acima! Pela equação reduzida então concluímos que:
C = (-1 ; -1)
A equação acima está sob a forma reduzida. Isso garante que:
a² = 1 ; b² = 1
Como a hipérbole está está no eixo real y, obtemos os vértices quando x = 0.
Vx = Cx = -1
(y + 1)² = 1
y + 1 = 1
Vy = 0
y + 1 = - 1
Vy = -2
V(-1,0) e V(-1,-2)
Os focos são obtidos por Pitágoras:
c² = a² + b²
c = 1 + 1
c = [tex]\sqrt{2}[/tex]
E as coordenadas do foco são:
F1(-Cx ; -Cy + c) = (-1 ; 1 + √2)
F2(-Cx ; -Cy - c) = (1 ; -1 - √2)
