Resposta: f'(x) = eˣsen(2eˣ)/2√[1 + cos²(eˣ)]
Vamos lá. Comece utilizando a regra (f + g)' = f' + g':
[tex]\begin{array}{l}f(x)=1-\sqrt{1+cos^2(e^x)}\\\\f'(x)=\big(1-\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\\\\f'(x)=(1)'-\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\end{array}[/tex]
A derivada da constante é igual a zero:
[tex]\begin{array}{l}f'(x)=0-\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\\\\f'(x)=-\,\big(\sqrt{1+cos^2(e^x)}\,\big)'\end{array}[/tex]
Utilize a regra da cadeia denotando [tex]1+cos^2(e^x)[/tex] por [tex]u[/tex]; faça a derivada da raiz quadrada de [tex]u[/tex] em relação a [tex]u[/tex], vezes a derivada de [tex]u[/tex] em relação a [tex]x[/tex]:
[tex]\begin{array}{l}f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (1+cos^2(e^x))^{\frac{1}{2}-1}\cdot(1+cos^2(e^x))'\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (1+cos^2(e^x))^{-\frac{1}{2}}\cdot[(1)'+(cos^2(e^x))']\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{(1+cos^2(e^x))^{\frac{1}{2}}}\cdot[0+(cos^2(e^x))']\\\\f'(x)=-\dfrac{(cos^2(e^x))'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\end{array}[/tex]
Aplicando a regra da cadeia novamente, denotando [tex]cos(e^x)[/tex] por [tex]u[/tex]:
[tex]\begin{array}{l}f'(x)=-\dfrac{2\cdot cos^{2-1}(e^x)\cdot (cos(e^x))'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\\\\f'(x)=-\dfrac{2cos(e^x)\cdot(-\,sen(e^x))\cdot (e^x)'}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\\\\f'(x)=\dfrac{2e^xcos(e^x)sen(e^x)}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}\end{array}[/tex]
Observe a seguinte identidade:
[tex]\text{$sen(2\theta)=sen(\theta+\theta)=sen(\theta)cos(\theta)+sen(\theta)cos(\theta)=2sen(\theta)cos(\theta)$}[/tex]
Então:
[tex]\begin{array}{l}\red{\boldsymbol{f'(x)=\dfrac{e^xsen(2e^x)}{2\sqrt{1+cos^2(e^x)}}}}\end{array}[/tex]
