Explicação passo a passo:
Demonstrar a identidade trigonométrica:
tg² x · cossec² x = 1 + tg² x
para cos x ≠ 0 e sen x ≠ 0.
Demonstração:
Reescreva o lado direito, aplicando as definições de tangente e cossecante. Lembrando que
[tex]\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\quad\mathrm{e}\quad\mathrm{cossec\,}x=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}[/tex]
Portanto, temos
[tex]\begin{array}{l}\mathrm{tg^2\,}x\cdot \mathrm{cossec^2\,}x\\\\ =\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\cdot \Big(\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}\Big)^2\\\\ =\dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^2\,}x}\\\\ =\dfrac{1}{\cos^2 x}\end{array}[/tex]
Reescreva o numerador [tex]1=\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x,[/tex] que é a relação trigonométrica fundamental, e a expressão acima fica
[tex]\begin{array}{l}=\dfrac{\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\\\\ =\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}+\dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}\\\\ =1+\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^2\\\\ =1+\mathrm{tg^2\,}x\qquad\quad\blacksquare\end{array}[/tex]
como queríamos.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
