São relativamente extensas, mas vamos lá:
1) [tex]\frac{16^x+64}{5}=4^{x+1}[/tex]
[tex]16^x+64=5\cdot 4^{x+1}[/tex]
[tex](4^2)^x+64=5\cdot 4^x\cdot 4[/tex]
[tex](4^x)^2+64=20\cdot 4^x[/tex]
Realizamos a substituição [tex]4^x=u[/tex]
[tex]u^2+64=20u[/tex]
[tex]u^2-20u+64=0[/tex]
Aplicamos Bhaskara:
[tex]\triangle=(-20)^2-4\cdot 1\cdot 64=400-256=144[/tex]
[tex]u_1=\frac{20+\sqrt{144} }{2} =\frac{20+12}{2}=\frac{32}{2}=16[/tex]
[tex]u_2=\frac{20-\sqrt{144} }{2} =\frac{20-12}{2}=\frac{8}{2}=4[/tex]
Convertemos de volta estes "u" para "x":
[tex]4^{x_1}=u_1[/tex]
[tex]4^{x_1}=16[/tex]
[tex]4^{x_1}=4^2[/tex]
[tex]x_1=2[/tex]
[tex]4^{x_2}=u_2[/tex]
[tex]4^{x_2}=4[/tex]
[tex]x_2=1[/tex]
Esta equação assume o seguinte conjunto solução:
[tex]S=\{1,\ 2\}[/tex]
2) [tex]3^{x+1}+3^{x-2}-3^{x-3}+3^{x-4}=750[/tex]
[tex]3^x\cdot 3+3^x\cdot 3^{-2}-3^x\cdot3^{-3}+3^x\cdot 3^{-4}=750[/tex]
[tex]3^x(3+3^{-2}-3^{-3}+3^{-4})=750[/tex]
[tex]3^x(3+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4})=750[/tex]
[tex]3^x(3+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81})=750[/tex]
[tex]3^x(\frac{243}{81}+\frac{9}{81}-\frac{3}{81}+\frac{1}{81})=750[/tex]
[tex]3^x\cdot \frac{250}{81}=750[/tex]
[tex]3^x=750\div \frac{250}{81}[/tex]
[tex]3^x=750\cdot \frac{81}{250}[/tex]
[tex]3^x=\frac{750\cdot 81}{250}[/tex]
[tex]3^x=\frac{3\cdot250\cdot81}{250}[/tex]
[tex]3^x=3\cdot 81[/tex]
[tex]3^x=243[/tex]
[tex]3^x=3^5[/tex]
[tex]x=5[/tex]
O conjunto solução desta equação é:
[tex]S=\{5\}[/tex]
3) Antes de tudo vamos simplificar as duas equações do sistema:
[tex]3^{x+y}=1[/tex]
[tex]3^{x+y}=3^0[/tex]
[tex]x+y=0[/tex]
[tex]2^{x+2y}=2[/tex]
[tex]x+2y=1[/tex]
Agora recriamos e resolvemos o sistema com as versões simplificadas destas equações:
[tex]\left \{ {{x+y=0} \atop {x+2y=1}} \right.[/tex]
[tex](x+2y)-(x+y)=1-0[/tex]
[tex]x+2y-x-y=1[/tex]
[tex]y=1[/tex]
[tex]x+y=0[/tex]
[tex]x+1=0[/tex]
[tex]x=-1[/tex]
4) [tex]10^{3x-1} > 100^x[/tex]
[tex]10^{3x-1} > (10^2)^x[/tex]
[tex]10^{3x-1} > 10^{2x}[/tex]
Quando a potência de base 10 da esquerda vai ser maior que a potência de base 10 da direita? Quando o expoente da potência da esquerda for maior que o expoente da potência da direita:
[tex]3x-1 > 2x[/tex]
[tex]3x-2x > 1[/tex]
[tex]x > 1[/tex]
A desigualdade será válida para qualquer valor real de x que seja maior que 1. Em linguagem matemática teremos o seguinte conjunto solução:
[tex]S=\{x\in R\ |\ x > 1\}[/tex]
