Resposta: a) sen(a) = 4/5; b) cos(a) = 3/5; c) sen(b) = 3/5; d) cos(b) = 4/5
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Vamos lá. Para determinar o valor de x, use o Teorema de Pitágoras; na qual o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos:
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[tex]h^2=c_1^2+c_2^2[/tex]
[tex](x+4)^2=x^2+8^2[/tex]
[tex]x^2+8x+16=x^2+64[/tex]
[tex]x^2-x^2+8x=64-16[/tex]
[tex]8x=48[/tex]
[tex]x=\frac{48}{8}[/tex]
[tex]x=6[/tex]
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Portanto, AB = 6 + 4 = 10, AC = 6 e BC = 8.
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Pela lei dos cossenos conseguiremos calcular os cossenos de a e b:
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[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot cos(a)[/tex]
[tex]8^2=10^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot cos(a)[/tex]
[tex]64=100+36-120\,cos(a)[/tex]
[tex]64=136-120\,cos(a)[/tex]
[tex]120\,cos(a)=136-64[/tex]
[tex]120\,cos(a)=72[/tex]
[tex]cos(a)=\frac{72}{120}[/tex]
[tex]cos(a)=\frac{3}{5}[/tex]
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[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos(b)[/tex]
[tex]6^2=10^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot cos(b)[/tex]
[tex]36=100+64-160\,cos(b)[/tex]
[tex]36=164-160\,cos(b)[/tex]
[tex]160\,cos(b)=164-36[/tex]
[tex]160\, cos(b)=128[/tex]
[tex]cos(b)=\frac{128}{160}[/tex]
[tex]cos(b)=\frac{4}{5}[/tex]
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Agora para calcular os senos de a e b, fazemos dessa forma: o seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Logo:
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[tex]sen(a)=\frac{co}{h}[/tex]
[tex]sen(a)=\frac{8}{10}[/tex]
[tex]sen(a)=\frac{4}{5}[/tex]
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Da mesma forma para calcular sen(b):
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[tex]sen(b)=\frac{co}{h}[/tex]
[tex]sen(b)=\frac{6}{10}[/tex]
[tex]sen(b)=\frac{3}{5}[/tex]
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Então respondendo as alternativas:
a) sen(a) = 4/5
b) cos(a) = 3/5
c) sen(b) = 3/5
d) cos(b) = 4/5
