A expressão que descreve a velocidade da bolinha do pêndulo será:
[tex]\displaystyle\boxed{ \rm{\bold{v=\sqrt{2gL(1-cos\theta )+\dfrac{kL^2}{m}\left (\sqrt{\dfrac{13}{4}-3cos\theta}-\dfrac{1}{2}\right)^2}}}}[/tex]
Neste problema devemos encontrar a lei de conservação da energia mecânica, esta lei pode nos ajudar a calcular uma expressão para a velocidade. Devemos saber que a energia mecânica será conservada em ambos os pontos onde a esfera do pêndulo está localizada.
[tex]\displaystyle \rm{\bold{E_{m1}=E_{m2} }}[/tex]
A energia mecânica no primeiro ponto do pêndulo é igual à energia potencial da bola naquela altura mais a energia elástica da mola que segura a bola naquele mesmo ponto, e a energia mecânica no segundo ponto é igual à energia cinética que terá quando estiver a uma altura igual a 0.
[tex]\displaystyle \rm{\bold{mgh+ \dfrac{k x^2}{2}=\dfrac{m v^2}{2} }}[/tex]
Mas a deformação "x" não está definida no problema ou em nosso pêndulo, então o que faremos é encontrar uma expressão que defina a deformação. Mas para encontrar essa expressão devemos usar o teorema de Pitágoras.
Se traçarmos os triângulos retângulos no pêndulo na imagem, obtemos dois triângulos retângulos. Se você vir a segunda imagem anexada, temos uma cateto adjacente que ambos os triângulos compartilham, então essa cateto terá o mesmo valor em ambas as partes.
Vamos atribuir a letra d para a cateto, se aplicarmos o teorema de Pitágoras para encontrar uma expressão que seja igual a essa cateto no primeiro triângulo que obtemos.
[tex]\rm{ \bold{L^2 = d^2 +(L cos\theta)^2}}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{L^2-(L cos\theta)^2 = d^2 }}[/tex]
- Essa expressão pode ser simplificada como:
[tex]\rm{ \bold{L^2(1- cos\theta)^2 = d^2 }}[/tex]
Se quisermos encontrar a deformação da mola, devemos ter a seguinte expressão:
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= d^2 + \left(L-L(cos\theta +\dfrac{L}{2}\right)^2}}[/tex]
- Se simplificarmos e substituirmos o valor de "d ao quadrado" obtemos a equação:
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2-(1- cos\theta)^2+ \left(L\left[\dfrac{3}{2}-cos\theta\right]\right)^2}}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2(1- cos\theta)^2+L^2 \left(\dfrac{3}{2}-cos\theta\right)^2}}[/tex]
- Simplificamos como uma expressão algébrica mais simples:
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(1- cos\theta)^2+\left(\dfrac{3}{2}-cos\theta\right)\right]^2}}[/tex]
Na segunda parte da equação podemos aplicar o quadrado binomial para obter:
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(1^2-cos(\theta)^2+\dfrac{3}{2} ^2 - 2\cdot \dfrac{3}{2} \cdot cos\theta +cos(\theta)^2\right]}}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2= L^2\left[(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta\right] }}[/tex]
Aplicamos a raiz quadrada a ambas as partes da nossa equação:
[tex]\rm{ \bold{\sqrt{ \left(x+\dfrac{L}{2} \right)^2}= \sqrt{L^2\left[\dfrac{13}{4}- 3cos\theta\right] }}}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{x+\dfrac{L}{2}= L\left[\sqrt{\dfrac{13}{4}- 3cos\theta}\right] }}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{x= L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta -\dfrac{L}{2}\right)}}}[/tex]
[tex]\rm{ \bold{x= L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)-\dfrac{1}{2}}}}[/tex]
Substituindo na fórmula da igualdade de energia mecânica.
[tex]\displaystyle \rm{\bold{mgh+ \dfrac{k}{2}\left(L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{m v^2}{2}} }[/tex]
[tex]\displaystyle \rm{\bold{2gh+ \dfrac{k}{m}\left(L\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2=v^2} }[/tex]
[tex]\displaystyle \rm{\bold{\sqrt{2gh+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{v^2}} }[/tex]
[tex]\displaystyle \rm{\bold{\sqrt{2gh+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\left(\dfrac{13}{4}- 3cos\theta \right)}-\dfrac{1}{2}\right)^2}=v} }[/tex]
A altura do pêndulo é definida pela expressão:
[tex]\bold{h=}\boxed{\rm{\bold{L-Lcos\theta= L(1-cos\theta)}}}[/tex]
Substituindo:
[tex]\displaystyle \green{\rm{\boxtimes~ \boxed{\bold{\sqrt{2gL(1-cos\theta)+ \dfrac{kL^2}{m}\left(\sqrt{\dfrac{13}{4}- 3cos\theta }-\dfrac{1}{2}\right)^2}=v~\checkmark }}} }[/tex]
Verificamos se a equação está correta.
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