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Sagot :
Resposta:
Uma piscina tem 20m de largura, 60m de comprimento 7m de profundidade no lado mais
fundo e 2m no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a
piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8m3/min, qual a velocidade com que o nível de
água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5m?
SOLUÇÃO DO PROBELA APRESENTADO POR MIM -
O volume de água na piscina em função de h, a altura quando h está próximo de 5 é:
V(h) = h . l . 1/2(12 + 12 + h + 16h/6)
Como l=50m simplificando obtemos:
V(h) = 20 . h .1/2(144 + 22h/6)
Isto é:
v(h) = 720h + 112h² / 3
Derivando implicitamente obtemos:
dV/dt = (24 + 244h/3) * dh/dt
Como:
dV/dt = 0.8m/min
Temos:
dh/dt = 3dV/dt / 720 + 244h
Isto é:
dh/dt = 3dV/dt / 720 + 244h = 2.4/1940 = 0.012m/min
Resposta:
Taxas relacionadas explicação e exemplos
Joel Alves Ferreira
O ser humano está sempre na busca de descrever o comportamento dos
fenômenos físicos que o cercam. Em geral, começam descrevendo problemas
mais simplificados, ou seja, desprezando algumas variáveis menos relevantes. Em
seguida, gradativamente são acrescidas novas variáveis até chegar o mais
próximo possível da realidade. Neste contexto temos as Taxas relacionadas, que
são as relações estabelecidas entre as várias Taxas de variação de um
determinado fenômeno físico.
Mas o que são taxas de variação?
Na matemática, taxa de variação é a variação de uma determinada grandeza em
função de outra variável. Por exemplo, a velocidade é a taxa de variação da
distância em função do tempo.
Entretanto, temos mais que um tipo de taxas de variação, por exemplo:
taxa de variação média que é a variação média entre os valores
iniciais e finais.
taxa de variação instantânea que é a variação de uma grandeza
em um determinado momento do fenômeno.
Taxas relacionadas
As taxas relacionadas são um conjunto de taxas de variação instantânea que estão
ligadas entre si por uma mesma variável independente. Por exemplo, na equação
,
que expressa o lucro através da receita menos o custo, onde todas elas estão em
função da variável produto. Assim, a taxa de variação do lucro em função do
número de produtos produzidos está relacionada com a taxa de variação da receita
e do custo.
Ou ainda, o exemplo clássico de taxas relacionadas, que é o escoamento de um
reservatório com um formato de um cone invertido, em que volume, a altura e o
raio são funções que dependem do tempo e estão relacionadas pela equação dovolume. Consequentemente, por meio e suas aplicações, é possível resolver uma
infinidade de problemas que acontecem no nosso cotidiano. calcular a taxa de
variação instantânea de velocidade, através de uma situação, por exemplo na
aviação no momento do pouso ou na decolagem de aviões, balões, drones e
outros. Podemos calcular a taxa de variação também em outras áreas na industria
como calculos de variação instantânea de massas e volumes.
Exemplo 1 de resolução de um problema de taxas relacionadas
Uma piscina foi construída com as seguintes dimensões: 5m de largura, 8m de
comprimento e 2m de profundidade no lado mais fundo e 1m no lado mais raso,
conforme figura abaixo. A piscina está sendo enchida com uma mangueira que tem
uma vasão de 3000 litros por hora, então qual a velocidade com que o nível de
água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo é de 80cm?
Iniciamos descrevendo a equação que expressa o volume de água na piscina em
função da altura. Na parte plana da piscina temos um formato paralelepípedo.
Assim, o volume é dado por:
.
A parte inclinada é um pouco mais complicada, mas usando a semelhanças
de triângulos
1
,
obtemos.
Somando ambas expressões temos
.
Atenção: estamos calculando o volume apenas para alturas entre 0 e 1m. Caso
necessite para alturas a cima de 1m a equação do volume deve ser alterada.
Derivando implicitamente a equação do volume em relação ao tempo t, temos
.
Assim, substituindo pelas informação dada no problema, tomando o cuidado da
transformação das unidades de medida
, temos
.
Portanto, o nível de água está subindo a uma taxa aproximada 0,086 metros por
hora quando está a uma altura de 0,8 metros.
Explicação passo a passo:
Exemplo 2 de resolução de um problema de taxas relacionadas.
Você está sobrevoando, com seu drone, a orla de uma praia. A velocidade do
drone, que se desloca com uma altura constante de 60m,é de 8 m/s. Dez
segundos depois de passar por cima de sua cabeça, qual a taxa de variação da
distância entre você e o drone?
Para iniciar a resolução do problema vamos fazer um esboço identificando todas
as variáveis. Muitas vezes, serão necessários dois esboços: do instante inicial e do
instante final.Vamos determinar quais foram as medidas dadas e quais as medidas que devem
ser calculadas.
h=60m h’=0
d=100m d’=?
x=80m x’=8m/s
Agora escrevemos uma equação que relaciona as variáveis do problema. Caso
seja necessário, utilize esta mesma equação no cálculo de alguma medida faltante.
d 2 =x 2 + h 2
d 2 =802 + 602
d = 100m
Vamos derivar, implicitamente com relação ao tempo a equação anterior.
d 2 =x 2 + h 2
derivando implicitamente
2dd’=2xx’ + 2hh’
dd’=xx’ + hh’Substitua as medidas e resolvemos o exercício.
100.d’=80.8 + 60.0
100d’=640
d’= 6,4m/s
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