Realizando os cálculos corretamente e tendo conhecimento do assunto, concluímos que as afirmações corretas são: [tex]\boxtimes [/tex] I e IV
[tex] \boxed{\displaystyle\bold{ \int ^{\infty }_1 \dfrac{dx}{(x+1)^3}}}[/tex]
Vemos que uma parte dessa integral é limitada pelo infinito, esse limite pode ser alterado por qualquer letra.
[tex] \displaystyle\rm{ \lim_{b\to \infty}\int ^{b }_1 \dfrac{dx}{(x+1)^3}}[/tex]
Se quisermos encontrar o valor dessa integral, para integral uma integral elemental existem vários métodos que nos permitem fazer isso. Em nossa integral usaremos o método de substituição ou mudança de variável. No nosso caso vamos mudar a expressão do denominador da nossa fração para qualquer nova variável.
[tex]\rm u=x+1 [/tex]
Esta expressão deve ser derivada em relação a "x", de forma que permaneça a seguinte expressão que expressa a derivada da variável.
[tex]\rm \dfrac{du}{dx}=x+1 [/tex]
Essa derivada é um tanto primitiva, pois só precisamos derivar "x" porque a derivada de uma constante é 0.
[tex]\rm \dfrac{du}{dx}=1\Longrightarrow du=1 dx\Longrightarrow du = dx [/tex]
Substituindo essas variáveis em nossa integral, devemos obter:
[tex]\displaystyle \rm{\int \dfrac{du}{u^3}=\int \dfrac{1}{u^3}du} [/tex]
Para integral de forma mais simples podemos aplicar as leis dos expoentes para obter uma variável ainda mais simples.
[tex]\displaystyle \rm{\int u^{-3}du} [/tex]
Neste momento já podemos integrar nossa expressão, se aplicarmos a regra da potência. A expressão seria:
[tex]\boxed{\displaystyle \rm{\int x^{a}dx= \dfrac{x^{a+1}}{a+1}}} [/tex]
[tex]\displaystyle \rm{ \dfrac{u{-3+1}}{-3+1}=- \dfrac{u^{-2}}{-2}}[/tex]
Novamente aplicamos a lei dos expoentes.
[tex] \rm{- \dfrac{\dfrac{1}{u^{2}}}{2}= -\dfrac{1}{2u^2}}[/tex]
Substituindo o valor da variável em relação a x para mostrar que estamos integrando cob em relação à variável x e não à variável u.
[tex] \rm{ -\dfrac{1}{2(x+1)^2}}[/tex]
[tex] \rm{ \lim_{b\to\infty}\left[-\dfrac{1}{2(x+1)^2}\right]^b _1}[/tex]
[tex] \rm{ \lim_{b\to\infty}\cancel{\left[-\dfrac{1}{2(b+1)^2}\right]}^0 -\left[-\dfrac{1}{2(1+1)^2}\right]}[/tex]
[tex] \rm{ \dfrac{1}{2(4)}\Longrightarrow \boxtimes ~\boxed{\bold{ \dfrac{1}{8}\checkmark}}}[/tex]
O valor da integral imprópria é igual a 1/8, pois o valor dessa integral se for um número podemos concluir que a integral existe e essa integral é convergente.
Se calcularmos a assíntota para a expressão do denominador tendo encontrado que o valor deve ser igual a 0, obtemos:
[tex]\displaystyle \rm{x+1=0}\\ \\ \displaystyle \rm{x=-1}[/tex]
E com isso concluímos que as afirmativas corretas são I e IV
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