De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o desencolvimento do binômio é
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (3y -2x)^4 = 81y^{4} - 216 y^3x+ 216y^{2} x^{2} -96yx^{3} + 16x^4 } $ }[/tex]
Dados os números naturais [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf n }[/tex] e [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf p }[/tex], com [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf n \geq p }[/tex], o número [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf {n \choose p} }[/tex] número binomial [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf n }[/tex] sobre [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf p}[/tex].
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{C_{n,\:p} = \dbinom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!} } $ } }[/tex]
Os coeficiente numéricos do triângulo de Pascal.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{array}{ l l l l l }\sf 1 & \sf & \sf & \sf & \sf\\\sf 1 & \sf 1 & \sf & \sf & \sf \\\sf 1 & \sf 2 & \sf 1 & \sf & \sf \\\sf 1 & \sf 3& \sf 3& \sf 1& \sf \\\sf 1 & \sf 4 & \sf 6 & \sf 4& \sf1\end{array} }$}[/tex]
Fórmula do binômio de Newton:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (x+ a) ^2 = \dbinom{n}{0} x^n \cdot \diagup\!\!\!{a^0}\:^1 +\dbinom{n}{1}x^{n-1} \cdot a^1 + \dbinom{n}{2} x^{n-2} \cdot a^2 + \cdots + \dbinom{n}{n} \diagup\!\!\!{x^0}\:^1 \cdot a } $ }[/tex]
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{(x+a )^n = \sum_{p= 0}^n \dbinom{n}{p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (3y-2x)^4 } $ }[/tex]
Para desenvolver essa potência, vamos considerá-la a forma:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ [ 3y+ (-2x)]^4 } $ }[/tex]
Simplificando, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{4!}{0!(4-0)!} \cdot (3y)^4 \cdot (-2x)^0 = 1 \cdot 81y^4 \cdot 1 = 81y^4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{4!}{1!(4-1)!} \cdot (3y)^3 \cdot (-2x)^1 = 4 \cdot 27y^3 \cdot (-2x) = -216y^3x } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{4!}{2!(4-2)!} \cdot (3y)^2 \cdot (-2x)^2 = 6 \cdot 9y^2 \cdot4x^{2} = 216y^2 x^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{4!}{3!(4-3)!} \cdot (3y)^1 \cdot (-2x)^3 = 4 \cdot 3y^1 \cdot (-8x^3) = -96yx^3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\dfrac{4!}{4!(4-4)!} \cdot (3y)^0 \cdot (-2x)^4 = 1 \cdot 16x^4 = 16x^4 } $ }[/tex]
Logo, binômio (3y-2x)⁴ espandido é:
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf (3y -2x)^4 = 81y^{4} - 216 y^3x+ 216y^{2} x^{2} -96yx^{3} + 16x^4 }[/tex]
Mais conhecimento acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/241094
https://brainly.com.br/tarefa/20255789
