✅ Após calcular as raízes da função cúbica, concluímos que seus valores são respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x' = 0,\:\:\:x'' = 0\:\:\:e\:\:\:x''' = \frac{3}{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO 1: Os zeros de toda e qualquer função polinomial são iguais às suas raízes, isto é, são os valores das abscissas dos pontos pertencentes ao gráfico da função cujas ordenadas são nulas.
OBSERVAÇÃO 2: O número de raízes de uma fução será sempre igual ao grau maximo do polinômio que originou a respectiva função. Portanto, toda função cúbica sempre terá 3 raízes.
Sabendo que a função cúbica, em sua forma geral, pode ser montada da seguinte forma:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,\:\:\:a\neq0\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função cúbica:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 2x^{3} - 3x^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Organizando a função, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = 2x^{3} - 3x^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes são:
[tex]\Large\begin{cases} a = 2\\b = -3\\c = 0\\d = 0\end{cases}[/tex]
Como o termo independente - coeficiente de "d" - da função é igual a "0", isto significa que uma das raízes da referida função é igual a "0", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 0\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, podemos dividir o polinômio que representa a função por "x". neste caso temos:
[tex]\Large\begin{array}{r|l}2x^{3}-3x^{2} &\kern-5pt\underline{~~~~~ x~~~ \quad}\\\underline{-2x^{3}\,}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:& 2x^{2}-3x\\0 - 3x^{2}\:\\\underline{~3x^{2}}\:\\(0)\:\: &\end{array}[/tex]
Após realizar a divisão obtemos como quociente o seguinte polinômio:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Q(x) = 2x^{2} - 3x\end{gathered}$}[/tex]
Calculando as raízes desta equação, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2} - 4\cdot2\cdot0}}{2\cdot2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3\pm\sqrt{9}}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3\pm3}{4}\end{gathered}$}[/tex]
Obtendo as raízes, temos:
[tex]\LARGE\begin{cases} x'' = \frac{3 - 3}{4} = 0\\x''' = \frac{3 + 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\end{cases}[/tex]
✅ Portanto, as raízes são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 0,\:\:\:x'' = 0\:\:\:e\:\:\:x''' = \frac{3}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Observe que nesta função existe uma raiz de multiplicidade "2" que é a raiz de valor "0" e uma raiz de multiplicidade "1" que é a raiz cujo valor é "3/2".
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
