Conhecendo o assunto das identidades trigonométricas e conhecendo algumas identidades trigonométricas básicas, concluímos que a resposta é: [tex]\boxed{\displaystyle \bold{tg (x) + cot(x) = \dfrac{5}{2}}}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle\rm{ tg(x)+cot(x)}}[/tex]
Sabendo que o valor de:
[tex]\boxed{\displaystyle\rm{ sen(2x) =\dfrac{4}{5}}}[/tex]
Vamos salvar o valor dessa expressão para usá-la mais tarde. Sabemos que as identidades trigonométricas são ferramentas matemáticas e, como qualquer outra ferramenta matemática, devem ter suas identidades e suas propriedades.
[tex]\boxed{\displaystyle \rm{ cot(x) = \dfrac{cos(x)}{sen(x)}}}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle \rm{ tg(x) = \dfrac{sen(x)}{cos(x)}}}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle \rm{cos^2(x)+sen^2(x)=1}}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle \rm{sen(x) \cdot cos(x) =\dfrac{sen(2x)}{2}} }[/tex]
Em nossa expressão podemos aplicar as duas primeiras identidades mais básicas, quando aplicadas podemos obter:
[tex]\displaystyle \rm{\dfrac{sen(x)}{cos(x)}+\dfrac{cos(x)}{sen(x)}}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d+ b\cdot c}{b\cdot d}}[/tex]
Se aplicarmos essa expressão em nossa soma de frações, devemos obter:
[tex]\displaystyle \rm{\dfrac{sen(x)\cdot sen(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{sen(x)\cdot cos(x)}}\\\\ \displaystyle\rm{ \dfrac{sen^2(x)+cos^2(x)}{sen(x)\cdot cos(x)}}[/tex]
A expressão parecerá um pouco mais simples porque só será necessário aplicar as identidades que faltam. Se aplicarmos a terceira identidade conhecida como identidade pitagórica no numerador, obtemos:
[tex] \displaystyle \rm{\dfrac{1}{sen(x)\cdot cos(x)}}[/tex]
Agora aplicamos a última identidade trigonométrica conhecida como identidade de ângulo duplo, quando aplicada ao denominador você obtém:
[tex] \displaystyle\rm{ \dfrac{1}{ \dfrac{sen(2x)}{2}}}=\displaystyle \rm{\dfrac{2}{sen(2x)}}[/tex]
Neste ponto, podemos parar de simplificar a expressão e agora podemos simplesmente substituir o valor que salvamos anteriormente.
[tex] \displaystyle \dfrac{2}{\dfrac{4}{5}}=2\cdot \dfrac{5}{4}= \dfrac{10\div2}{4\div2}=\boxtimes~ \boxed{\displaystyle\bold{\dfrac{5}{2}\checkmark}} [/tex]
Verificamos que o valor de nossa expressão trigonométrica é 5/2.
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