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Sagot :
Portanto, podemos concluir que a equação geral da reta r, que passa por P e S é perpendicular é [tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r: x - 3y + 9 = 0 } $ }[/tex] e o ponto de intercepção nas retas R e S são:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ Q = \left( \: \dfrac{9}{10 }, ~ \dfrac{33}{10} \: \right) } $ }[/tex]
Inclinação e coeficiente angular ou declividade de uma reta:
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = \tan{\alpha} }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \tan{\alpha} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} }[/tex]
Equação da reta de coeficiente angular [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf m }[/tex] e que passa por um ponto [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (\:x_A - y_A \: ) }[/tex].
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ y - y_A = m \cdot (x - x_A ) } }}[/tex]
Equação reduzida da reta.
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ y = mx + n } }}[/tex]
Condição de perpendicularismo de duas retas.
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ m_r \cdot m_s = -\:1 ~~ ou ~ ~m_r = -\:\dfrac{1}{m_s} } }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf s: y = -3(x-2) \\ \sf P = (\:3, 4\:) \\ \sf Q = (\: x, y \:) \\ \sf m_r = \:? \\ \sf r: ax +by +c \end{cases} } $ }[/tex]
Primeiro, vamos determinar os coeficientes angular e linear de r e s
usando a equação na forma reduzida.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ s: y = -3\cdot (x -2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ s: y = -3x+ 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = -3 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{m_r} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{-3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = \dfrac{1}{3} }[/tex]
Para a reta r, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y- y_A = m_r \cdot (x- x_A) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y- 4 = \dfrac{1}{3} \cdot (x- 3) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3y- 12 = x- 3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x-3 = 3y - 12 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x -3y-3 +12 =0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r: x -3y + 9 = 0 }[/tex]
O enunciado pede o ponto de intercepção nas retas R e S.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf r: y =-3 \cdot (x-2) \\\sf r: x -3y +9 =0 \end{cases} } $ }[/tex]
Aplicando o método da substituição, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -3 \cdot (x- 2) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -3x + 6 } $ }[/tex]
Substituindo o valor de y na segunda equação, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x -3y+9 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x- 3 \cdot ( -3x +6) + 9=0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x + 9x -18 + 9=0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 10x -9=0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 10x = 9 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{9}{10} }[/tex]
Com o valor de x já encontrado devemos substituir na primeira equação para determinar o valor de y.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -3x + 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -3 \cdot \dfrac{9}{10} + 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = - \dfrac{27}{10} + \dfrac{60}{10} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{33}{10} }[/tex]
Logo, o ponto de intercepção nas retas R e S são:
[tex]\Large\boldsymbol{\displaystyle \sf Q = \left( \: \dfrac{9}{10 }, ~ \dfrac{33}{10} \: \right) }[/tex]
Mais conhecimento acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/51156772
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto de interseção das retas é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = \bigg(\frac{9}{10},\,\frac{33}{10}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} S: y = -3(x - 2)\\P = (3, 4)\\I = \:?\end{cases}[/tex]
- Organizando a equação da reta "S", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S: y = -3x + 6\end{gathered}$}[/tex]
- Recuperando o coeficiente angular da reta "S":
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{S} = -3\end{gathered}$}[/tex]
- Obtendo o coeficietne angular da reta "s":
Se as restas "S" e "s" são perpendiculares, então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:S\perp s\Longrightarrow m_{S}\cdot m_{s} = -1 \Longrightarrow m_{s} = -\frac{1}{m_{S}}\end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{s} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{s} = \frac{1}{3}\end{gathered}$}[/tex]
- Calculando a equação da reta "s". Para isso devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{s}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = \frac{1}{3}\cdot(x - 3)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{3}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x}{3} - \frac{3}{3} + 4\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x - 3 + 12}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{x + 9}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3y = x + 9\end{gathered}$}[/tex]
- Isolando o termo independente da reta "s", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x + 3y = 9\end{gathered}$}[/tex]
- Isolando o termo independente da reta "S", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x + y = 6\end{gathered}$}[/tex]
- Encontrar o ponto de interseção das retas. Para isso devemos resolver o seguinte sistema de equações:
[tex]\Large\begin{cases} -x + 3y = 9\\3x + y = 6\end{cases}[/tex]
Isolando "y" na 2ª equação, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 6 - 3x\end{gathered}$}[/tex]
Inserindo o valor de "y" na 1ª equação, resolvendo e simplificando, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x + 3\cdot(6 - 3x) = 9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x + 18 - 9x = 9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x - 9x = 9 - 18\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -10x = -9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 10x = 9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{9}{10}\end{gathered}$}[/tex]
Calculando o valor de "y", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 6 - 3\cdot\frac{9}{10}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 6 - \frac{27}{10}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{60 - 27}{10}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{33}{10}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o ponto de interseção é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I = \bigg(\frac{9}{10},\,\frac{33}{10}\bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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