Resposta: L = 5/3
Devemos calcular o seguinte limite:
[tex]L=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{5x^2+7x}{3x^2+x-7}\bigg)[/tex]
Se aplicarmos as principais propriedades como de costume, chegaríamos a algo como:
[tex]L=\sf\dfrac{5(-\infty)^2-7\infty}{3(-\infty)^2-\infty-7}=\dfrac{\infty}{\infty}[/tex]
, que é uma indeterminação matemática. Para fugir disto, faz-se necessário o uso de alguns macetes algébricos. Nesse caso podemos dividir o numerador e o denominador por x², dado que ela é a maior potência de x presente na expressão. Desse modo:
[tex]\begin{array}{l}L=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{\frac{5x^2+7x}{x^2}}{\frac{3x^2+x-7}{x^2}}\bigg)\\\\\sf=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{7}{x^2}}\bigg)\\\\\sf=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{5+\frac{7}{x}}{3+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}}\bigg)\end{array}[/tex]
Agora sim, basta aplicar as propriedades que e o limite será válido desta vez. As propriedades que usaremos de início são:
- [tex]\sf\underset{\sf x\to a}{lim}\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\Bigg(\,\dfrac{\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)]}{\underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)]}\,\Bigg);~\underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)]}\neq0[/tex]
- [tex]\sf\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)]\pm \underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)][/tex]
- [tex]\sf\underset{\sf x\to a}{lim}(b)=b[/tex]
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[tex]\begin{array}{l}L=\sf\dfrac{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(5+\frac{7}{x}\big)}{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(3+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}\big)}\\\\\sf=\dfrac{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}(5)+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}(3)+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}\sf=\dfrac{5+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{3+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}\end{array}[/tex]
Segundo o teorema do limite no infinito, temos que:
[tex]\sf \underset{x\to\pm\infty}{lim}\bigg(\dfrac{a}{x^b}\bigg)=0~;~a\in\mathbb{R}^*,b\in\mathbb{Z}_+^*[/tex]
Isso acontece pois se dividirmos um número real (diferente de zero) por um número enorme, que seja infinito positivo ou negativo, o resultado se aproximará de zero, isto é, tenderá a zero. Por isso:
[tex]\begin{array}{l}L\sf=\dfrac{5+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{3+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}=\dfrac{5+0}{3+0-0}=\red{\boldsymbol{\boxed{\sf\dfrac{5}{3}}}}\end{array}[/tex]
Então o limite de [tex]\sf\frac{5x^2+7x}{3x^2+x-7}[/tex] tendendo ao menos infinito existe e é igual a 5/3.
