De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a P. A tem 174 elementos e que corresponde alternativa correta é a letra A.
Progressão aritmética é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo prcendente ( anterior ) com uma constante [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r }[/tex] que chamada de razão.
Exemplos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (\: 1, 3, 5, 7, 9, \cdots \:) } $ }[/tex] → é uma P. A inifita de razão [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r = 2 }[/tex];
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (\: 5, 5, 5, 5, 0\:) } $ }[/tex] → é uma P. A finita de razão [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r = 0 }[/tex].
Termo geral da P.A:
Seja uma P. A [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf (\: a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots \:) }[/tex] de razão [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r }[/tex], temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf a_2 - a_1 = r \Rightarrow a_2 = a_1 + r \\\sf a_3 - a_2 = r \Rightarrow a_3 = a_2 + r \Rightarrow a_3 = a_1 +2r \\\sf a_4 - a_3 = r \Rightarrow a_4 = a_3 + r \Rightarrow a_4 = a_1 +3r \\\vdots \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \end{cases} } $ }[/tex]
De modo geral, o termo [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n }[/tex], que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{a_n = a_1 + ( n- 1 ) \cdot r } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf P. A\:( \: 3,6, \cdots , 522\:) \\\sf a_1 = 3 \\\sf a_2 = 6 \\\sf r = a_2 -a_1 \\\sf a_n = 522 \\\sf n = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Apliquemos a fórmula do termo geral:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{a_n = a_1 + ( n- 1 ) \cdot r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{522 = 3 + ( n - 1 ) \cdot3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{522= \diagup\!\!\!{3} + 3n - \diagup\!\!\!{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3n = 522 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n = \dfrac{522}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf n = 174 }[/tex]
Logo, a P. A tem 174 elementos.
Alternativa correta é a letra A.
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