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Sagot :
Resposta:
[tex]S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x\le -\dfrac{5}{8}~~\mathrm{ou}~~x\ge 1\right\}[/tex]
ou em notação de intervalos,
[tex]S=\left(-\infty, \, -\dfrac{5}{8}\right] \cup [1,\,+\infty).[/tex]
Explicação passo a passo:
Resolver a inequação quadrática
[tex]\begin{array}{l} 8x^2-3x-5\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x^2-3x\ge 5\end{array}[/tex]
Multiplique os dois lados por 8 para facilitar os cálculos:
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad 8\cdot (8x^2-3x)\ge 8\cdot 5\\\\ \Longleftrightarrow\quad 64x^2-24x\ge 40\end{array}[/tex]
Reescreva convenientemente os termos do lado esquerdo para efetuarmos o completamento de quadrados:
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad (8x)^2-(8x)\cdot 3\ge 40\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}\ge 40\end{array}[/tex]
Adicione [tex]\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}[/tex] a ambos os lados para completar o quadrado no lado esquerdo:
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x) \cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}\ge 40+\dfrac{9}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{160+9}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{169}{4}\qquad\mathrm{(i)}\end{array}[/tex]
Identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma diferença (produtos notáveis):
[tex]p^2-2pq+q^2=(p-q)^2[/tex]
com [tex]p=8x[/tex] e [tex]q=\dfrac{3}{2}.[/tex]
Substituindo, a inequação (i) fica
[tex]\Longleftrightarrow\quad \left(8x-\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{169}{4}[/tex]
A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Portanto, a desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos termos:
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \sqrt{\left(8x-\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}}\ge \sqrt{\dfrac{169}{4}}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left|8x-\dfrac{3}{2}\right|\ge \dfrac{13}{2}\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}[/tex]
Atenção! [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex] (módulo de [tex]a[/tex]), para todo [tex]a\in\mathbb{R}.[/tex]
Resolvendo a inequação modular, devemos ter então
[tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad 8x-\dfrac{3}{2}\le -\dfrac{13}{2}\quad\mathrm{ou}\quad 8x-\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{13}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -\dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2} \quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge \dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -\dfrac{10}{2}\quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge \dfrac{16}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -5\quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge 8\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\le -\dfrac{5}{8}\quad\mathrm{ou}\quad x\ge \dfrac{8}{8}\end{array}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad x\le -\dfrac{5}{8}\quad\mathrm{ou}\quad x\ge 1[/tex]
ou em notação de intervalos,
[tex]\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty, \, -\dfrac{5}{8}\right] \cup [1,\,+\infty).[/tex]
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