Resposta:
[tex]X = \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right][/tex]
Explicação passo a passo:
Queremos calcular a matriz X tal que:
[tex](A^T \cdot X)^{-1} = (B^{-1})^{-1}[/tex]
A inversa do produto é dada por:
[tex](MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}[/tex]
Do lado esquerdo então fica:
[tex]X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} = B[/tex]
Já que a inversa da inversa de B é a própria matriz B. Multiplicando ambos os lados pela direita pela transposta de A:
[tex]X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} \cdot A^T = B \cdot A^T[/tex]
Mas:
[tex](A^T)^{-1} \cdot A^T = I_2[/tex]
Que é a identidade de ordem 2, logo:
[tex]X^{-1} \cdot (A^T)^{-1} \cdot A^T = B \cdot A^T \Rightarrow X^{-1} \cdot I_2 = B \cdot A^T[/tex]
Porém:
[tex]X^{-1} \cdot I_2 = X^{-1}[/tex]
Logo:
[tex]X^{-1} = B \cdot A^T[/tex]
Invertendo ambos os lados e aplicando mais uma vez a propriedade da inversa do produto:
[tex](X^{-1})^{-1} = (B \cdot A^T)^{-1} \Leftrightarrow X = (A^T)^{-1} \cdot B^{-1}[/tex]
Mais uma propriedade pode ser usada:
[tex](A^T)^{-1} = (A^{-1})^T[/tex]
Finalmente temos:
[tex]X = (A^{-1})^T \cdot B^{-1}[/tex]
Precisamos da inversa de B. Há uma propriedade de uma inversa de ordem 2. Seja a matriz B:
[tex]B = \left[\begin{array}{cc} m & n \\ p & q \end{array} \right][/tex]
Sua inversa será:
[tex]B = \frac{1}{mq-pn \cdot }\left[\begin{array}{cc} q & -n \\ -p & m \end{array} \right][/tex]
Ou seja:
[tex]X = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \frac{1}{3\cdot 1 - 0 \cdot 2} \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 3\\ \end{array} \right][/tex]
O que resulta em:
[tex]X = \frac{1}{3} \left[\begin{array}{cc} 2 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 - 2 & 0+ 3 \\ \end{array} \right] = \frac{1}{3} \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ - 3 & 3 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right][/tex]
