Resposta: A) ae⁻²ˣcos(3x) + be⁻²ˣsen(3x), a e b reais.
Vamos lá. A equação diferencial dada é:
[tex]\sf y''+4y'+13y=0[/tex]
Por ser uma equação homogênea, vamos resolvê-la encontrando sua equação característica. Para isso, suponhamos que [tex]\sf y=e^{\lambda x}[/tex]; desse modo:
[tex]\begin{array}{l}\sf((e^{\lambda x})')'+4(e^{\lambda x})'+13(e^{\lambda x})=0\\\\\sf((e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)')'+4(e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)'+13e^{\lambda x}=0\\\\\sf(\lambda e^{\lambda x})'+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda(e^{\lambda x})\cdot(\lambda x)'+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda^2e^{\lambda x}+4\lambda e^{\lambda x}+13\,e^{\lambda x}=0\\\\\sf(\lambda^2+4\lambda +13)e^{\lambda x}=0\\\\\sf\lambda^2+4\lambda +13=0\end{array}[/tex]
Agora vamos resolver essa equação. Por Bhaskara:
[tex]\begin{array}{l}\sf\lambda=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2(1)}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{16-52}}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{-36}}{2}~;~i=\sqrt{-1}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-\,4\pm6i}{2}\Rightarrow\lambda=-\,2\pm3i\end{array}[/tex]
Como essa equação resultou em duas raízes complexas, a solução geral para a nossa edo é definida por:
- [tex]\sf y(x)=e^{ax}[c_1\,cos(bx)+c_2\,sen(bx)][/tex]
Na qual, a e b são, respectivamente, a parte real e imaginária das raízes complexas [tex]\sf\lambda=a\pm bi[/tex].
Desse modo, conclui-se que:
[tex]\sf y(x)=e^{-2x}[c_1\,cos(3x)+c_2\,sen(3x)][/tex]
[tex]\red{\boldsymbol{\sf \sf y(x)=c_1e^{-2x}\,cos(3x)+c_2e^{-2x}\,sen(3x)~;~c_1,c_2\in\mathbb{R}\sf~\to~sol.~geral}}[/tex]
Obs.: a diferença entre o meu resultado para com os das alternativas é que eu usei a notação ''c₁'' e ''c₂'' para as constantes arbitrárias, já a tua questão usou ''a'' e ''b'' para as mesmas. Sendo assim, conforme as opções dispostas:
[tex]\red{\boldsymbol{\sf y(x)=a\,e^{-2x}\,cos(3x)+b\,e^{-2x}\,sen(3x)~;~a,b\in\mathbb{R}\sf~\to~letra~A}}[/tex]
