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Mostre que se b|a, c|a e (b, c) = 1 então bc|a.

Sagot :

Lukyo

Explicação passo a passo:

Dados a, b e c inteiros, mostrar que se b | a, c | a e mdc(b, c) = 1, então bc | a.

  • Demonstração:

[tex]b|a\quad\Longrightarrow\quad a=k_1 b,[/tex] para algum [tex]k_1\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]c|a\quad\Longrightarrow\quad a=k_2 c,[/tex] para algum [tex]k_2\in\mathbb{Z}[/tex]

Portanto, temos

[tex]\Longrightarrow\quad k_1 b=k_2 c\\\\ \Longrightarrow\quad b|k_2 c[/tex]

Mas como [tex]\mathrm{mdc}(b,\,c)=1,[/tex] devemos ter

[tex]\Longrightarrow\quad b|k_2\\\\ \Longrightarrow\quad k_2=k_3 b[/tex]

para algum [tex]k_3\in \mathbb{Z}.[/tex]

Logo,

[tex]\Longrightarrow\quad a=k_2 c=(k_3 b)c\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=k_3(bc)\\\\ \Longleftrightarrow\quad bc|a\qquad\blacksquare[/tex]

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