De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que e que corresponde alternativa correta a letra E.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 27 } $ }[/tex]
O limite dos valores [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex] para [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] tendendo ao número [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a }[/tex] é o número [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf L }[/tex] se, e somente se, os números reais da imagem [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex] permanecerem próximo de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf L }[/tex], para os infinitos valores de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] próximo de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a }[/tex].
Indicamos que o limite de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex] para [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] tendendo a [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a }[/tex] é igual a [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf L }[/tex] por:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to a} \: f(x) = L } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} } $ }[/tex]
Para resolvermos, primeiro devems aplicacar o produto notáveis.
O cubo da soma de dois termos é: (a + b)^3
"O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo".
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{(a+b)^3 = a^3 +3a^{2} b +3ab^{2} +b^{3} } $ }[/tex]
Com base na definição de produto notáveis, vamos resolver:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (x+3)^3 = x^{3}+ 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} +3^{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (x+3)^3 = x^{3}+ 9 x^{2} + 3 \cdot x \cdot 9 + 27 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (x+3)^3 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^{3}+ 9 x^{2} + 27 x+ 27 } } $ }[/tex]
Voltando a resolução do enunciado.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} = \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{ x^3 +9x^{2} +27x +27 - 27 }{x} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{ x^3 +9x^{2} +27x +0 }{x} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{\diagup\!\!\!{ x }\cdot (x^2+9x +27) }{\diagup\!\!\!{ x}} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = x^{2} +9x +27 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 0^{2} +9 \cdot 0 +27 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 0 + 0 +27 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 27 }[/tex]
Alternativa correta a letra E.
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