anasophiamalheiroslo
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Determine k de modo que o produto das raízes da equação x²-(2k-1)x+k²-k-12=0 seja igual a 18​

Sagot :

Em uma eq. de 2º grau ax^2 + bx + c = 0, o produto das raizes vale c/a. No nosso caso, a = 1 e c = k^2 - k - 12. Então,

k^2 - k - 12 = 18, isto é,

k^2 - k - 30 = 0.

Resolvendo a eq. de 2º grau acima para k obtemos k= -5 ou k = 6. Ambos os valores de k satisfazem os requisitos do enunciado.
dougOcara

Resposta:

k = -5 ou k = 6

Explicação passo a passo:

Dado: x²-(2k-1)x+k²-k-12=0

Comparando com (a)x²+(b)x+c=0, determinamos os coeficientes:

a=1, b = -(2k-1) e c= k²-k-12

Relação de Girard:

Produto das raízes (P):

P= c/a

Dado: P=18

18=(k²-k-12)/1

k²-k-12=18

k²-k-12-18=0

k²-k-30=0

[tex]\displaystyle Aplicando~a~f\acute{o}rmula~de~Bhaskara~para~k^{2}-k-30=0~~e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=1{;}~b=-1~e~c=-30\\\\C\acute{a}lculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-1)^{2}-4(1)(-30)=1-(-120)=121\\\\C\acute{a}lculo~das~raizes:&\\k^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-1)-\sqrt{121}}{2(1)}=\frac{1-11}{2}=\frac{-10}{2}=-5\\\\k^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-1)+\sqrt{121}}{2(1)}=\frac{1+11}{2}=\frac{12}{2}=6[/tex]

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