Se o volume diminui 20% por hora, significa dizer que a cada hora passada seu volume cai a 80% (100%-20%) do volume registrado anteriormente.
ex.: Se o volume atual é de 100 litros, daqui 1 hora terá caído a 80 litros, passadas 2 horas, terá caído a 64 litros e assim por diante
Podemos escrever matematicamente como:
[tex]\boxed{\sf V_{final}~=~V_{inicial}~\cdot~0,8^{t}}[/tex]
Obs.: 0,8 é a representação de 80% como taxa unitária.
Queremos que o Volume Final seja 1/8 do Volume Inicial, portanto:
[tex]\sf \dfrac{1}{8}\cdot V_{inicial}~=~V_{inicial}~\cdot ~0,8^t\\\\\\\dfrac{V_{inicial}}{8\cdot V_{inicial}}~=~0,8^t\\\\\\\dfrac{1}{8}~=~0,8^t\\\\\\Aplicando~logaritmos~nos~dois~lados~da~equacao:\\\\\\\log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~\log\left(0,8^t\right)[/tex]
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência [tex]\boxed{\sf \log_ba^c~=~c\cdot \log_ba}[/tex]:
[tex]\sf \log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~\log\left(0,8^t\right)\\\\\\\log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~t\cdot \log\left(0,8\right)[/tex]
Reescrevendo 0,8 na sua forma fracionária:
[tex]\sf \log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~t\cdot \log\left(\dfrac{8}{10}\right)[/tex]
Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente
[tex]\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)~=~\log_ba-\log_bc}[/tex] :
[tex]\sf \left(\log1-\log8\right)~=~t\cdot \left(\log8-\log10\right)[/tex]
Reescrevendo 8 na forma de potência de base 2 e aplicando a propriedade do logaritmo da potência:
[tex]\sf \left(\log1-\log2^3\right)~=~t\cdot \left(\log2^3-\log10\right)\\\\\\\sf \left(\log1-3\cdot \log2\right)~=~t\cdot \left(3\cdot \log2-\log10\right)[/tex]
Substituindo os valores dos logaritmos:
[tex]\sf \left(0-3\cdot 0,3\right)~=~t\cdot \left(3\cdot 0,3-1\right)\\\\\\\sf \left(0-0,9\right)~=~t\cdot \left(0,9-1\right)\\\\\\\sf \left(-0,9\right)~=~t\cdot \left(-0,1\right)\\\\\\t~=~\dfrac{-0,9}{-0,1}\\\\\\t~=~\dfrac{9}{1}\\\\\\\boxed{\sf t~=~9~horas}[/tex]
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
