a) O módulo de xy é xy se ambos são positivos ou negativos; e vale -xy se eles têm sinais opostos.
No primeiro caso, se ambos x e y são positivos, então |x| = x e |y| = y. Logo, |xy|=|x|.|y|. Se ambos são negativos, então |x|= -x e |y| -y; de onde tiramos que |x|.|y|= (-x).(-y)= x.y = |xy|.
No segundo caso, ambos têm sinais opostos, então podemos supor que x>0 e y<0 (do contrário basta trocar y e x). Então, |x|=x e |y|= -y. Segue-se: |x|.|y| = -xy = |xy|.
b) Tome y = 1/x no item a) para obter: 1=|1|=|xy|=|x|.|1/x|. Logo 1/|x| = |1/x|.
c) Temos que –|x| ≤ x ≤ |x| assim como –|y| ≤ y ≤ |y|. Se somarmos membro a membro, obtemos -(|x|+|y|) ≤ x+y ≤ |x|+|y|
Se x+y ≥ 0, então |x + y| = x+y ≤ (|x| + |y|). Se x+y < 0, então |x + y| = –(x + y) ≤ (|x| + |y|). Em ambos os casos |x + y| ≤ |x| + |y|.
