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Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem???

Sagot :

MATHSPHIS

 

Se as arestas estão em PA, imaginemos que r seja a razão.

Então podemos escrever o valor destas arestas como: x-r, x, x+r

 

Como existem 4 arestas de cada medida, e a sua soma é 60, podemos escrever:

4(x-r)+4x+4(x+r)=60

Desenvolvendo:

4x-4r+4x+4x+4r=60

Cancelamos os termos 4r e -4r e sobram

12x=60, de onde temos x=5 (esta é a medida da aresta intermediária.

 

 

Agora vamos calcular a soma das 6 faces. Elas são iguais duas a duas, então podemos escrever:

 

 

2x(x-r)+2x(x+r)+2(x-r)(x+r)=142

Mas x=5, já sabemos, então a expressão anterior fica:

 

 

10(5-r)+10(5+r)+2.(25-r^2)=142

Desenvolvendo e simplificando chegamos a:

150-2r^2=142

2r^2=150-142

2r^2=8

r^2=4

r=2

 

Então a medida das arestas do sólido são 3, 5 e 7 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

andre19santos

Os lados do paralelepípedo medem 3 cm, 5 cm e 7 cm.

Sabemos que as dimensões do paralelepípedo formam uma progressão aritmética, sendo r a razão dessa progressão, temos que:

x - r, x, x + r

Um paralelepípedo é constituído de seis faces de áreas iguais duas a duas, se suas dimensões são x - r, x e x + r, temos que a soma das áreas é:

At = 2x(x-r) + 2(x-r)(x+r) + 2x(x+r)

142 = 2(x(x-r) + (x-r)(x+r) + x(x+r))

142 = 2(x² - xr + x² - r² + x² + xr)

142 = 2(3x²- r²)

A soma das arestas vale 60, ou seja:

60 = 4(x-r) + 4x + 4(x+r)

60 = 4(x - r + x + x + r)

15 = 3x

x = 5 cm

Substituindo na equação da área:

142 = 2(3x²- r²)

71 = 3.5² - r²

r² = 75 - 71

r² = 4

r = 2

Os lados do paralelepípedo são:

x - r = 3 cm

x = 5 cm

x + r = 7 cm

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