O Sistersinspirit.ca ajuda você a encontrar respostas confiáveis para todas as suas perguntas com a ajuda de especialistas. Junte-se à nossa plataforma de perguntas e respostas e obtenha informações precisas de especialistas em diversas áreas. Experimente a conveniência de encontrar respostas precisas para suas perguntas de uma comunidade dedicada de especialistas.
Sagot :
Gab,
Faça a seguinte mudança de variável:
[tex]u=\frac1{x-1} \Rightarrow \\\\ \begin{cases} u(x-1)=1 \Rightarrow x-1 = \frac1{u} \Rightarrow x = \frac1{u}+1\\\\ \Rightarrow x^3=\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1\\\\ \Rightarrow du=-\frac1{(x-1)^2}dx\end{cases} \\\\\\ \Rightarrow \int\frac{x^3+x+1}{(x-1)^2}\,dx = \int[\frac{x^3}{(x-1)^2} + \frac{x}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)^2}]\,dx=[/tex]
[tex]=\int\frac{x^3}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{x}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{1}{(x-1)^2}\,dx=\\\\ =\int-(\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1)du+\int-(\frac1{u}+1)du+\int-du=\\\\ =-\int u^{-3}du-3\int u^{-2}du-3\int u^{-1}du-\int du-\int u^{-1}du - \int du- \\ - \int du[/tex]
Daqui prá frente a bola é sua hehe... ;D
Apesar de não ter sido solicitado, segue também minha contribuição:
Efetuando a divisão concluímos que:
[tex]x^3 + x + 1 = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)[/tex]
Portanto, a integral...
[tex]\int \frac{(x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)}{x^2 - 2x + 1} dx = \\\\\\ \int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} dx =[/tex]
Na segunda integral (um pouca mais complicada), podemos aplicar uma fração parcial, veja:
[tex]\frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A(x - 1) + B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{Ax - A + B}{(x - 1)^2} \begin{cases} Ax = 4x \Rightarrow \boxed{A = 4} \\ - A + B = - 1 \Rightarrow \boxed{B = 3}\end{cases} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2}[/tex]
Enfim,
[tex]\int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \left (\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2} \right ) dx = \\\\\\ \int (x + 2) dx + \int \frac{4}{x - 1} dx + \int \frac{3}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \cdot \int \frac{1}{x - 1} dx + 3 \cdot \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \boxed{\boxed{\frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x - 1| - \frac{3}{(x - 1)} + C}}[/tex]
Obrigado por visitar. Nosso objetivo é fornecer as respostas mais precisas para todas as suas necessidades informativas. Volte em breve. Obrigado por passar por aqui. Nos esforçamos para fornecer as melhores respostas para todas as suas perguntas. Até a próxima. Obrigado por usar o Sistersinspirit.ca. Volte novamente para obter mais conhecimento dos nossos especialistas.