Resposta:
Na frase My name is ....
Temos o pronome possessivo MY, que é como se fosse o meu em português.
Por exemplo: My cat is 13 years old.
O gato é meu, então por isso My cat.
Porém o My só pode ser usado quando é colocado em seguida do que está sendo falado, do que é a posse.
Quando não é apresentado algo após, utilizamos o MINE.
Vamos de exemplo para ficar mais fácil:
Vamos falar sobre gatos, ok?
(Estamos conversando e você vê um gato e acha que é o meu gato e eu te digo que não é)
Você: Is that YOUR cat?
Eu: No, that cat is not MINE.
Para você utilizar um adjetivo possessivo na frase My name is.. teria que ser um confirmação, por exemplo:
Eu: Someone is calling you.
Você: That name isn't mine.
Mas afirmo que é bem estranho (seria melhor falar - That's not my name), porém gramaticamente está correto.
