- O productorio é uma notação matemática que representa uma multiplicação de uma quantidade finita ou infinita, em si o productorio é algo semelhante a uma somatória com a única mudança que nas somatória estamos apenas somando termos e no productorio estamos multiplicando termos.
Para resolver um productorio devemos encontrar o seguinte exemplo de um productorio de i igual a 1 até n:
[tex] \large \displaystyle\sf \prod\limits^n _{i= 1} i [/tex]
- Onde o valor de "i" deve ser substituído por 1, 2, 3, 4 até chegar a "n" número natural.
[tex] \large \displaystyle\sf \prod\limits^n _{i= 1} i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot... \cdot n[/tex]
Como o produto nunca possui a variável "j" todos os resultados serão iguais independente da posição de "j" então o produto é igual a:
[tex] \large \displaystyle\sf \prod\limits^{10} _{j=1} \dfrac{1}{10}\\ \\ \large \displaystyle\sf \left( \dfrac{1}{10} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot...\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)[/tex]
[tex] \large \displaystyle\sf \left( \dfrac{1}{10} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)\cdot...\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{1^{10}}{10^{10}}\\ \\ \boxed{\large \displaystyle\sf =\dfrac{1}{10,000,000,000}}[/tex]
Agora resolvemos o productorio de "[tex]\ell[/tex]" até 8, dada a expressão [tex]2^\ell[/tex] , então seu valor pode ser igual a:
[tex] \large \displaystyle\sf \prod\limits^8 _{\ell= 1} 2^\ell =2^1\cdot 2^2 \cdot 2^3\cdot 2^4\cdot...\cdot2^8[/tex]
[tex] \large \displaystyle\sf 2\cdot 4 \cdot 8\cdot 16\cdot 32\cdot 64\cdot 128\cdot256\\ \\ \boxed{ \large \displaystyle\sf = 68,719,476,736}[/tex]
- O último produtor é o mais interessante e complexo, vemos que o valor de i deve atingir o valor "n", o valor de "i" começa em 1 e termina em "n" então o produtor é:
[tex] \large \displaystyle\sf \prod\limits^n _{i=1} \dfrac{x_i}{x_{i+1}}[/tex]
[tex] \large \displaystyle\sf \dfrac{x_1}{x_{1+1}} \cdot \dfrac{x_2}{x_{2+1}}\cdot\dfrac{x_3}{x_{3+1}}\cdot\dfrac{x_4}{x_{4+1}}\cdot...\cdot \dfrac{x_n}{x_{n+1}}\\ \\\large \displaystyle\sf \dfrac{x_1}{\cancel{x_{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{x_2}}{\cancel{x_{3}}}\cdot\dfrac{\cancel{x_3}}{\cancel{x_{4}}}\cdot\dfrac{\cancel{x_4}}{\cancel{x_{5}}}\cdot \dfrac{\cancel{x_5}}{\cancel{x_6}}\cdot...\cdot \dfrac{\cancel{x_n}}{x_{n+1}} [/tex]
Vemos que o numerador do primeiro fração e o denominador da segunda fração nunca são eliminados, então concluímos que o resultado é:
[tex]\boxed{=\large \displaystyle\sf \dfrac{x_1}{x_{n+1}}}[/tex]
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