Primeiramente, vamos relembrar sobre as Leis de Kepler:
- Primeira Lei de Kepler: Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
- Segunda Lei de Kepler: O vetor posição de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
- Terceira Lei de Kepler: O cubo do raio médio da órbita de um planeta é proporcional ao quadrado do período de revolução deste planeta. [tex]\left ( \frac{R^3}{T^2}=constante \right )[/tex]
Gostaria de pontuar que essas leis valem para qualquer sistema no qual a massa do corpo central seja muito maior que a massa dos corpos em órbita, que a Segunda Lei de Kepler se refere a cada planeta de forma individual e que a Terceira Lei de Kepler se refere aos planetas de um mesmo sistema. Com isto em mente, vamos resolver os exercícios:
7) É dado no enunciado as áreas varridas por um mesmo planeta em tempos diferentes, e precisamos descobrir qual foi o tempo gasto em cada parte do percurso a partir dos valores das áreas varridas pelo vetor posição.
A Segunda Lei de Kepler nos diz que esse planeta deve varrer áreas iguais em tempos iguais, ou seja, a velocidade areolar (a quantidade de área varrida a cada instante) deve ser constante durante todo seu trajeto. Sendo [tex]t_1[/tex] e [tex]t_2[/tex] o tempo gasto para varrer [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex], respectivamente, teremos:
[tex]\frac{A_1}{t_1}=\frac{A_2}{t_2}\Rightarrow \frac{8{,}8\cdot 10^{24}}{t_1}=\frac{26{,}4\cdot 10^{24}}{62{,}15}[/tex]
[tex]t_1=\frac{62{,}15\cdot 8{,}8\cdot 10^{24}}{26{,}4\cdot 10^{24}}=62{,}15\cdot \frac{1}{3}\approx 20{,}717\ anos[/tex]
Perceba que [tex]A_2[/tex] é o triplo de [tex]A_1[/tex], então o planeta precisa ter levado um terço do tempo para varrer a área [tex]A_1[/tex], ou seja, 20,717 anos.
8) O enunciado apresenta dois corpos diferentes orbitando em um mesmo sistema, nesse caso os dois orbitam o Sol. Além disso, sabemos que o período de translação da Terra é de 1 ano, e o enunciado nos dá o raio das órbitas.
Primeiramente, vamos calcular o raio médio da órbita do asteroide:
[tex]R_M=\frac{2{,}3\cdot 10^{11}+1{,}5\cdot 10^{11}}{2}=1{,}9\cdot 10^{11}\ m[/tex]
Sendo [tex]R_A[/tex] e [tex]R_T[/tex], [tex]T_A[/tex] e [tex]T_T[/tex], o raio médio e o período das órbitas do asteroide e da Terra, respectivamente, podemos aplicar a Terceira Lei de Kepler:
[tex]\frac{R_A^3}{T_A^2}=\frac{R_T^3}{T_T^2}\Rightarrow \frac{\left ( 1{,}9\cdot 10^{11} \right )^3}{T_A^2}=\frac{\left ( 1{,}5\cdot 10^{11} \right )^3}{1^2}[/tex]
[tex]T_A=\left ( \frac{1{,}9\cdot 10^{11}}{1{,}5\cdot 10^{11}} \right )^{\frac{3}{2}}\approx1{,}426\ anos[/tex]
