A integral definida é igual a F(x) = (5 + 2√e⁷)/7, alternativa C.
Para o cálculo de integrais, devemos utilizar várias regras e métodos para resolver tais problemas. O cálculo de integrais é geralmente utilizado para calcular áreas abaixo de curvas determinadas por certas funções.
Seja a função dada por f(x) = 1/x + √x⁵, podemos reescrevê-la como:
f(x) = 1/x + x^(5/2)
Os limites de integração são 1 e e, portanto:
[tex]F(x)=\int\limits^e_1 {\dfrac{1}{x}} \, dx +\int\limits^e_1 x^{\frac{5}{2}} \, dx[/tex]
Calculando a primeira integral:
[tex]\int\limits^e_1 {\dfrac{1}{x}} \, dx = ln(x)|^e_1 = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1[/tex]
Calculando a segunda integral:
[tex]\int\limits^e_1 x^{\frac{5}{2}} \, dx= \dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{\dfrac{7}{2}} = \dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}|_1^e = \dfrac{2}{7}e^{\frac{7}{2}} - \dfrac{2}{7}1^{\frac{7}{2}} = \dfrac{2}{7}\cdot(e^{\frac{7}{2}}-1)[/tex]
Logo, teremos:
F(x) = 1 + (2/7)·(√e⁷ - 1)
F(x) = 1 - 2/7 + (2/7)√e⁷
F(x) = 5/7 + (2/7)√e⁷
F(x) = (5 + 2√e⁷)/7
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