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Calcule a seguinte integral Trigonométrica

∫ sen x cos^{2} x dx

Sagot :

Lukyo

Resposta:  [tex]\displaystyle\int \mathrm{sen\,}x\cos^2 x\,dx=-\,\dfrac{\cos^3 x}{3}+C.[/tex]

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida:

    [tex]\displaystyle\int \mathrm{sen}\,x\cos^2 x\,dx\\\\\\=\int \cos^2 x\cdot \mathrm{sen}\,x\,dx\\\\\\ =\int -\cos^2 x\cdot (-\,\mathrm{sen}\,x)\,dx[/tex]

Faça a seguinte substituição:

    [tex]u=\cos x\quad\Longrightarrow\quad du=-\,\mathrm{sen\,}x\,dx[/tex]

Substituindo, a integral fica

    [tex]\displaystyle=\int -\,u^2\,du\\\\\\=-\,\frac{u^{2+1}}{2+1}+C\\\\\\=-\,\frac{u^3}{3}+C[/tex]

Substituindo de volta para a variável x, finalmente chegamos ao resultado:

    [tex]=-\,\dfrac{\cos^3 x}{3}+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]

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