C) A correlação r=-0,961 é forte e negativa para x=(2,5,8) e y=(8,7,4)
O coeficiente de correlação de Pearson é definido pela equação
[tex]r = \dfrac{Cov(X,Y)}{S_X\cdot S_Y}[/tex]
Após o desenvolvimento matemático que segue no final deste texto, encontramos a seguinte fórmula para trabalhar:
[tex]r = \dfrac{n\sum_i^n (X_iY_i) -\sum_i^nX_i\sum_i^nY_i}{\sqrt{n\sum_i^n X^2_i-(\sum_i^nX_i)^2}\sqrt{n\sum_i^n Y^2_i-(\sum_i^nY_i)^2}}[/tex]
Escrevendo uma tabela com os valores que vamos precisar usar na equação, temos:
X Y X² Y² XY
2 8 4 64 16 ]
5 7 25 49 35 ] --> n = 3
8 4 64 16 32 ]
____ ____ ____
15 19 93 129 83 | --> Somas
Ao substituir os valores referente às somas nos somatórios da equação acima, encontramos:
r = - 0,961
Vamos agora desenvolver os passos para obter a equação que utilizamos:
A covariância entre duas grandezas é dada por
[tex] Cov(X,Y)= \dfrac{\sum_i^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}[/tex]
Calculando a distributiva e realizando o somatório passo a passo, a equação acima se reduz a
[tex] Cov(X,Y)= \dfrac{\sum_i^n (X_iY_i) -n\bar{X}\bar{Y})}{n-1}[/tex]
Já os desvios padrões [tex]S_X[/tex] e [tex]S_Y[/tex] são dados pelas seguintes equações:
[tex]S_X= \sqrt{\dfrac{\sum X^2_i-n\bar X^2}{n-1}}[/tex]
[tex]S_Y= \sqrt{\dfrac{\sum Y^2_i-n\bar Y^2}{n-1}}[/tex]
Realizando a divisão para obter o valor de r, a quantidade de elementos (n-1) é cancelada e ficamos com:
[tex]r = \dfrac{Cov(X,Y)}{S_X\cdot S_Y}[/tex]
[tex]r = \dfrac{\sum_i^n (X_iY_i) -n\bar{X}\bar{Y})}{\sqrt{\sum X^2_i-n\bar X^2}\sqrt{\sum Y^2_i-n\bar Y^2}}[/tex]
Mas esta equação está escrita em função das médias.
Perceba que [tex]\bar A[/tex] é a média de A. ou seja, [tex]\bar A= \frac{\sum(A_i)}{n}[/tex]
Para que a equação esteja em função das somas, basta colocar o 1/n em evidência:
[tex]r = \dfrac{\sum_i^n (X_iY_i) -n\sum X/n\sum Y/n)}{\sqrt{\sum X^2_i-n(\sum X/n)^2}\sqrt{\sum Y^2_i-n(\sum Y/n)^2}}[/tex]
E assim obtemos a equação usada para resolver o problema:
[tex]r = \dfrac{n\sum_i^n (X_iY_i) -\sum_i^nX_i\sum_i^nY_i}{\sqrt{n\sum_i^n X^2_i-(\sum_i^nX_i)^2}\sqrt{n\sum_i^n Y^2_i-(\sum_i^nY_i)^2}}[/tex]
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#SPJ2
