Resposta: y = 12/25.
Explicação passo a passo:
Dados sen x = 3/5 e 0 ≤ x ≤ 90º, calcular o valor da expressão y = cos² x · tg x.
[tex]\mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{5}[/tex]
Eleve os dois lados da igualdade acima ao quadrado:
[tex]\Longrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{\!2}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{9}{25}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
Substitua sen² x = 1 − cos² x:
[tex]\Longleftrightarrow\quad 1-\cos^2 x=\dfrac{9}{25}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=\dfrac{25-9}{25}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \cos^2 x=\dfrac{16}{25}\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Para encontrar o valor de tg x, divida as equações (i) e (ii) membro a membro:
[tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}=\dfrac{\frac{9}{25}}{~\frac{16}{25}~}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}=\dfrac{9}{\diagup\!\!\!\!\! 25}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 25}{16}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^{\!2}=\dfrac{9}{16}[/tex]
Aplicando a definição de tangente, substituimos sen x/cos x = tg x:
[tex]\Longleftrightarrow\quad \mathrm{tg^2\,}x=\dfrac{9}{16}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\pm\,\sqrt{\dfrac{9}{16}}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\pm\,\dfrac{3}{4}[/tex]
Como 0 ≤ x ≤ 90º, isto é, x é um arco do 1º quadrante, a tangente não pode ser negativa. Portanto,
[tex]\Longrightarrow\quad \mathrm{tg\,}x=\dfrac{3}{4}\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
Agora podemos calcular a expressão pedida:
[tex]y=\cos^2 x\cdot \mathrm{tg\,}x\\\\\Longrightarrow\quad y=\dfrac{16}{25}\cdot \dfrac{3}{4}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{48}{100}[/tex]
Simplificando a fração:
[tex]\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{48}{100}\small\begin{array}{l}{\div 4}\\ {\div 4}\end{array}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{12}{25}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]
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