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Sagot :
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral da reta que passa pelos referidos pontos é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \tau: 3x - y - 5 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos:
[tex]\Large\begin{cases} A(2, 1)\\B(4, 7)\end{cases}[/tex]
Para determinar a equação da reta que passa por estes pontos devemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Y - Y_{A} = m_{r}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \tan \theta\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{Y_{B} - Y_{A}}{X_{B} - X_{A}}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, chegamos à seguinte equação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Y- Y_{A} = \frac{Y_{B} - Y_{A}}{X_{B} - X_{A}}\cdot(X - X_{A})\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os valores das coordenadas dos pontos na equação "II", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 1 = \frac{7 - 1}{4 - 2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 1 = \frac{6}{2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 1 = 3\cdot(x - 2)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 1 = 3x - 6\end{gathered}$}[/tex]
Chegando neste ponto, devemos manipular a equação de modo que resulte na forma geral da equação da reta. Para isso, devemos passar todos os termos para o primeiro membro. Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -3x + y - 1 + 6 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -3x + y + 5 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x - y - 5 = 0\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a equação geral da reta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tau: 3x - y - 5 = 0\end{gathered}$}[/tex]
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Veja a solução gráfica representada na figura:
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