Resposta: O número de diagonais é :[tex]P~\!\!ara\,P_1,5\,diagonais~e~para\,P_2,9\, diagonais .[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Sejam dois polígonos regulares [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] com [tex]n[/tex] e [tex]n+1[/tex] lados. Temos que:
[tex]A_i_P_1+A_e_P_2=168\textdegree\Rightarrow\dfrac{180(n-2)}{n}+\dfrac{360}{n+1}=168\textdegree[/tex]
[tex](180n-360)(n+1)+360n=168n^2+168n[/tex]
[tex]180n^2-360n+180n-360+360n-168n^2-168n=0[/tex]
[tex]12n^2+12n-360=0[/tex]
[tex]n^2+n-30=0[/tex]
[tex]n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+120}}{2}\Rightarrow\begin{cases}n=5\\\\n=-6~(n\tilde ao\, serve)\end{cases}[/tex]
[tex]P_1[/tex] tem [tex]n[/tex] lados e [tex]n=5\Rightarrow d_1=\dfrac{5(5-3)}{2}=5[/tex]
[tex]P_2[/tex] tem [tex]n+1[/tex] lados e [tex]n+1=6\Rightarrow d_2=\dfrac{6(6-3)}{2}=9[/tex]
