De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a distância entre os pontos C e ponto D é: [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{82} } $ }[/tex].
Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, a distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades. ( Vide a figura em anexo ).
O segmento [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf \overline{AB} }[/tex] não é paralelo [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf ( \: AB \nparallel Ox ~ e ~ AB \nparallel Oy \: ) }[/tex] a nenhum dos eixos coordenados.
Temos inicialmente:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \displaystyle \sf \left. \begin{array}{ r r} \sf A C \parallel Ox & \sf \Rightarrow y_C = y_1 \\ \\ \sf BC \parallel Oy & \sf \Rightarrow x_C = y_2 \end{array}\right\} \Rightarrow C \: (\: x_2, y_1 \: ) } $ }[/tex]
De acordo com os dados citados acima, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{d_{AC} =\mid x_C - x_A \mid\: = \: \mid x_2 -x_1 \mid } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{d_{BC} =\mid y_B - y_C \mid\: = \: \mid y_2 -y_1 \mid } $ }[/tex]
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d^{2} = d_{AC}^2 + d_{BC}^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d^2 = (x_1 -x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ d = \sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2- y_1)^2} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf C\: ( -1,4 \: ) \\ \sf D\: (\: -2,-5\: ) \\ \sf d_{DC} = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Aplicando a definição de distância de ponto, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{(x_2 -x_1)^2 +(y_2- y_1)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{(-2 -(-1))^2 +(-5-4)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{(-2+ 1)^2 +(-9)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{( -1)^2 + 81} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{ 1 + 81} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{DC} = \sqrt{82} } $ }[/tex]
