De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a soma é [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = 1\: 575 } $ }[/tex].
Progressão aritmética ( P. A ) é uma sequência numérica em cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se o termo anterior com uma constante. Essa constante é chamada razão da P . A. e é indicada por r.
A razão pode ser calculada fazendo [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf r = a_n - a_{n-1} }[/tex], para qualquer [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf n\ge 2}[/tex].
Termo geral da P.A:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_2 -a_1 = r \Rightarrow a_2 = a_1 + r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_3 - a_2 = r \Rightarrow a_3 = a_2 + r \Rightarrow a_3 = a_1 +2r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad a_4 - a_3 = r \Rightarrow a_4 = a_3 + r \Rightarrow a_4 = a_1 +3r } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad \vdots \quad \vdots \quad \quad \vdots \quad \vdots} $ }[/tex]
A [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n }[/tex] ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (n -1 ) \cdot r } $ } } \Large \text {\sf , com $ \mathsf{ n \in \mathbb{N}^{\ast} } $ }[/tex]
Soma dos n primeiros termos de uma P.A:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{ (a_n + a_1) \cdot n}{2} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf P.A \:(-21,-14,-7, \cdots) \\ \sf a_1 = 21 \\\sf a_2 = - 14 \\\sf r = a_2 - a_1 \\ \sf r = -14 -(-21) \\ \sf r = -14 +21 = 7 \\\sf n = 25 \\ \sf a_{25} =\:? \\ \sf a_{25} =a_1 +24 \cdot r \\\sf S_{25} = \:? \end{cases} } $ }[/tex]
Para determinar a soma da vinte cinco primeiro termo de uma PA, aplicaremos a fórmula.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{ (a_n + a_1) \cdot n}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ (a_{25} + a_1) \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ (a_1+24 \cdot r + a_1) \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ (-21+24 \cdot 7 -21) \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ (-21+168 -21) \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ (147 -21) \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = \dfrac{ 126 \cdot 25}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{25} = 63 \cdot 25 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf s_{25} = 1\:575 }[/tex]
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