✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (x - 2)^{2} - 7\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a resposta correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$}[/tex]
Onde:
[tex]\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}[/tex]
Seja a expressão do segundo grau:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x - 3\end{gathered}$}[/tex]
Para completar os quadrados desta expressão devemos transforma-la em equação. Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x - 3 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x = 3\end{gathered}$}[/tex]
Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x + \bigg(\frac{-4}{2}\bigg)^{2} = 3 + \bigg(\frac{-4}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Resolver as operações e simplificar os cálculos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x + \frac{(-4)^{2}}{2^{2}} = 3 + \frac{(-4)^{2}}{2^{2}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x + \frac{16}{4} = 3 + \frac{16}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x + 4 = 3 + 4\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 4x + 4 = 7\end{gathered}$}[/tex]
Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - 2)^{2} = 7\end{gathered}$}[/tex]
Passando tudo de volta para o primeiro membro, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Reconvertendo a equação para a expressão, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a expressão com os quadrados completados é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7\end{gathered}$}[/tex]
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