✅ Após resolver a função do segundo grau - função quadrática - concluímos que o conjunto solução da questão é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{x\in\mathbb{R}\,|\,x < -2\: \textrm{ou}\:x > 5\}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função do segundo grau:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 3x - 10\end{gathered}$}[/tex]
Que dá origem à seguinte equação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 3x - 10 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes são:
[tex]\Large\begin{cases} a = 1\\b = -3\\c = -10\end{cases}[/tex]
Calculando o valor do delta temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot(-10)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 9 + 40\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 49\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\Delta = 49\end{gathered}$}[/tex]
Calculando as raízes:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-(-3)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{3\pm7}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Obtendo as raízes:
[tex]\LARGE\begin{cases} x' = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\\x'' = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\end{cases}[/tex]
Portanto, o conjunto solução da equação é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{-2, \,5\}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Como estamos querendo calcular os valores de x para os quais a função do segundo grau possua valores positivos então o conjunto solução final será:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{x\in\mathbb{R}\,|\,x < -2\:\textrm{ou}\:x > 5\}\end{gathered}$}[/tex]
OBS: Observe que o que fizemos foi apenas restringir o conjunto domínio da função para que a mesma produza apenas valores positivos, isto é, o conjunto solução da referida questão é um subconjunto do Domínio da função.
Saiba mais:
Veja a solução gráfica representada na figura:
