A alternativa E é a correta. A função f(x) é crescente nos intervalos ]-∞, -1[ e ]1 , +∞[ e decrescente no intervalo ]-1, 1[.
Derivada de um Função
A derivada de uma função representa os intervalos de crescimento ou decrescimento de uma função. Dada a função [tex]f(x) = x^{3} -3x[/tex], sua derivada pode ser calculada por:
[tex]f(x) = x^3-3x \\\\f'(x) = 3x^{3-1} -3x^{1-1} \\\\f'(x) = 3x^{2} -3x^{0} \\\\f'(x) = 3x^2-3[/tex]
Precisamos agora estudar o sinal da derivada. Trata-se de uma função quadrática com concavidade para cima e cujas raízes valem:
[tex]f'(x) = 0 =3x^2-3\\\\3x^2=3\\\\x^2= 1\\\\x = \pm \sqrt{1} \\\\x= \pm 1[/tex]
- Para o intervalo [tex]]-\infty , -1[ \: \cup \: ]1, \infty[[/tex] a função [tex]f'(x)[/tex] é positiva. Logo, a função [tex]f(x)[/tex] é crescente nesses intervalos;
- Para o intervalo [tex]]-1,1[[/tex] a função [tex]f'(x)[/tex] é negativa. Logo, a função [tex]f(x)[/tex] é decrescente nesse intervalo.
A única alternativa que contempla todos as conclusões que encontramos é a alternativa E. Assim, a alternativa E é a correta.
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Espero ter ajudado, até a próxima :)
