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Sejam os pontos A(1, −4) , B(2, α) e C(3, −1). Qual é o valor de α para que o
triângulo ABC seja retângulo no vértice A ?

Sagot :

ncastro13

O valor de [tex]\alpha[/tex] para que o triângulo ABC seja retângulo é -14/3.

Podemos considerar os lados do triângulo como vetores. Se o produto escalar entre dois vetores for nulo, então os vetores são ortogonais.

Determinando os vetores

Os vetores [tex]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}[/tex] pode ser calculado por:

[tex]\overrightarrow{AB}=B-A\\\\\overrightarrow{AB}=(2-1,\alpha-(-4))\\\\\overrightarrow{AB}=(1,\alpha+4)\\[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC}=C-A\\\\\overrightarrow{AC}=(3-1,-1-(-4))\\\\\overrightarrow{AC}=(2,3)\\[/tex]

Produto escalar

Se o produto escalar entre os vetores [tex]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0[/tex], então os lados do triângulo ABC serão perpendiculares, resultando em um triângulo retângulo. Efetuando o produto escalar entre os vetores:

[tex]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\\(1,\alpha +4) \cdot (2, 3) = 0\\1 \cdot 2+(\alpha+4) \cdot 3 = 0\\2 + 3\alpha+12=0\\3 \alpha = -14\\\alpha =- \frac{14}{3}[/tex]

Logo, o valor de [tex]\alpha[/tex] para que o triângulo ABC seja retângulo é [tex]- \frac{14}{3}[/tex].

Para saber mais sobre produto escalar, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/28106751

Espero ter ajudado, até a próxima :)

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