O valor de [tex]\alpha[/tex] para que o triângulo ABC seja retângulo é -14/3.
Podemos considerar os lados do triângulo como vetores. Se o produto escalar entre dois vetores for nulo, então os vetores são ortogonais.
Determinando os vetores
Os vetores [tex]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}[/tex] pode ser calculado por:
[tex]\overrightarrow{AB}=B-A\\\\\overrightarrow{AB}=(2-1,\alpha-(-4))\\\\\overrightarrow{AB}=(1,\alpha+4)\\[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}=C-A\\\\\overrightarrow{AC}=(3-1,-1-(-4))\\\\\overrightarrow{AC}=(2,3)\\[/tex]
Produto escalar
Se o produto escalar entre os vetores [tex]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0[/tex], então os lados do triângulo ABC serão perpendiculares, resultando em um triângulo retângulo. Efetuando o produto escalar entre os vetores:
[tex]\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\\(1,\alpha +4) \cdot (2, 3) = 0\\1 \cdot 2+(\alpha+4) \cdot 3 = 0\\2 + 3\alpha+12=0\\3 \alpha = -14\\\alpha =- \frac{14}{3}[/tex]
Logo, o valor de [tex]\alpha[/tex] para que o triângulo ABC seja retângulo é [tex]- \frac{14}{3}[/tex].
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https://brainly.com.br/tarefa/28106751
Espero ter ajudado, até a próxima :)
