De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a equação da reta que é perpendicular à reta é:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3x -2y - 18 = 0 } $ }[/tex]
Interseção de retas:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 x_P +b_1 y_P +c_1 = 0 \\ \\ \sf a_2 x_P +b_2 y_P +c_2 = 0 \end{cases} } $ }[/tex]
Equação geral da reta:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ ax +by + c = 0 } $ } }[/tex]
Inclinação e coeficiente angular de uma reta:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ m = \tan{\theta} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} } $ } }[/tex]
Equação da reta de coeficiente angular m e que passa por um ponto
[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf P\:(\: x_0, y_0) }[/tex]:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ y-y_0= m\cdot (x -x_0) } $ } }[/tex]
Equação reduzida da reta:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = m\: x +n } $ } }[/tex]
Condição de perpendicularismo de duas retas:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_1 \cdot m_2 = -1 ~ ~ ou ~ ~ m_2 = -\:\dfrac{1}{m_1} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r : y - 4 = -\: \dfrac{2}{3} \: (x + 1) \:\: \perp (s \;\cap \: t) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ s \;\cap \: t \to \begin{cases} \sf 2x +3y - 12 = 0 \\ \sf x + 3y - 6 = 0 \end{cases} } $ }[/tex]
Primeiramente devemos determinar o coeficiente angular da reta r.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - 4 = -\: \dfrac{2}{3} \: (x + 1) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - 4 = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} +4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} + \dfrac{12}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} +\dfrac{10}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_1 = -\: \dfrac{2}{3} }[/tex]
Agora devemos determinar os pontos das retas que fazem interseção.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf 2x +3y = 12 \\ \sf x+ 3y = 6 \times (-\: 1) \end{cases} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \underline{ \begin{cases} \sf 2x +3y = 12 \\ \sf -x - 3y = - 6 \end{cases}} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 6 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x +3y = 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 6 +3y = 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3y = 6 - 6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \dfrac{0}{3} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 0 }[/tex]
A reta r é perpendicular a as duas retas s e t, devemos determinar coeficiente.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m_2 = -\:\dfrac{1}{ -\:\dfrac{2}{3} } } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_2 = \dfrac{3}{2} }[/tex]
Agora devemos determinar a equação geral da reta.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y -y_0 = m \cdot (x - x_0) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y - 0 = \dfrac{3}{2} \cdot (x -6) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{18}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{18}{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2y = 3x -18 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3x- 18 = 2y } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 3x -2y - 18 = 0 }[/tex]
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta "u", perpendicular à reta "r", passando pelo ponto de interseção "E" - interseção das retas "s" e "t" - é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf u: y = \frac{3}{2}x - 9\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as equações:
[tex]\Large\begin{cases} r: y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 1)\\s: 2x + 3y - 12 = 0\\t: x + 3y - 6 = 0\\u:\:?\end{cases}[/tex]
Para calcular a equação da reta "u", sendo a mesma perpendicular à reta "r", passando pelo ponto de interseção "E" - interseção entre as retas "s" e "t" - devemos utilizar fórmula "ponto/declividade", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{E} = m_{u}\cdot(x - x_{E})\end{gathered}$}[/tex]
Para utilizarmos esta fórmula, devemos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 4 = -\frac{2x}{3} - \frac{2}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -\frac{2x}{3} - \frac{2}{3} + 4\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{-2x - 2 + 12}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{-2x + 10}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}y = -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\: m_{r} = -\frac{2}{3}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:r\perp u\Longrightarrow m_{r}\cdot m_{u} = -1 \Longrightarrow m_{u} = -\frac{1}{m_{r}}\end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{u} = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = -1\cdot\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{u} = \frac{3}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases} 2x + 3y - 12 = 0\\x + 3y - 6 = 0\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} 2x + 3y = 12\\x + 3y = 6\end{cases}[/tex]
Isolando "x" na segunda equação do sistema, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 6 - 3y\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo o valor de "x" na primeira equação do sistema, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cdot(6 - 3y) + 3y = 12\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 12 - 6y + 3y = 12\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -6y + 3y = 12 - 12\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} - 3y = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 0\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo o valor de "y" na equação "II", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 6 - 3\cdot0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 6\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o ponto de interseção "E" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} E = (x, y) = (6, 0)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:E = (6, 0)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 0 = \frac{3}{2}\cdot(x - 6)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{3}{2}x - \frac{18}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{3}{2}x - 9\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a equação da reta "u" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} u: y = \frac{3}{2}x - 9\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
Veja a solução gráfica da questão representada na figura:
