Utilizando um produto notável, o quadrado de uma diferença, provou-
se que:
a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac
Por outro lado , quando a = b = c a; b; c ∈ |R , ocorre a igualdade
1 ) Provar a desigualdade
Consideremos a seguinte inequação:
( a + b)² + ( a - c )² + ( b - c )² > 0
Realmente isto é verdade. Poque :
( a + b)² é positivo ( algo elevado ao quadrado é sempre positivo)
( a + b)² o mesmo
( a + b)² o mesmo
( a - b)² + ( a - c )² + ( b - c )² > 0
a² - 2ab + b² + a² - 2ac + c² + b² - 2bc + c² > 0
Fazendo operações com termos semelhantes
a² + a² + b² + b² + c² + c² - 2ab - 2bc - 2ac > 0
2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac > 0
Dividindo todos os termos por 2
2a²/2 + 2b²/2 + 2c²/2 - 2ab/2 - 2bc/2 - 2ac/2 > 0/2
a² + b² + c² - ab - bc - ac > 0
Passando para o segundo membro os termos que não estejam elevados
ao quadrado:
a² + b² + c² > ab + bc + ac
( como queríamos demonstrar )
2 ) Quando ocorre a igualdade ?
Pelo menos quando a = b = c
Verifiquemos:
a = b = c = 0
0² + 0² + 0² = 0 * 0 + 0 * 0 + 0 * 0
0 = 0 verificado e verdadeiro
a = b = c = 1
1² + 1² + 1² = 1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1
3 = 3
etc.
Logo também se prova que
a² + b² + c² = ab + bc + ac
destas duas confirmações se retira que:
a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac
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Observação → Quadrado de uma diferença
Este produto notável tem o seguinte desenvolvimento:
quadrado do 1º termo
menos
o dobro do produto do 1º pelo 2º termos
mais
o quadrado do 2º termo
Bons estudos.
Att: Duarte Morgado
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( * ) multiplicação ( |R ) conjunto dos números reais
( ∈ ) pertence a ( > ) maior do que ( ≥ ) maior ou igual a
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
